Successioni e serie: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: serie numeriche · criteri di convergenza · serie di Taylor

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Trova la somma S8 dei primi 8 termini della successione geometrica 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
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Su cosa ti eserciti

  1. Facileserie aritmetiche e geometriche
  2. Mediaconvergenza e serie di potenze
  3. Difficilepolinomi di Taylor e Maclaurin

Come risolvere gli esercizi di Successioni e serie

  1. Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
  2. Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
  3. Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
  4. Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Errori comuni

  • Usare n invece di n − 1 in aₙ = a₁ + (n − 1)d o a₁rⁿ⁻¹.
  • Usare la formula della somma infinita quando |r| ≥ 1, o con il primo termine sbagliato.
  • Concludere la convergenza solo perché i termini tendono a 0.
  • Invertire il limite del criterio del rapporto: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, non il suo reciproco.
  • Dimenticare i fattoriali o i segni alterni in un polinomio di Taylor.

Formule chiave

Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Impara Successioni e serie da zero

Prima di questo: Limiti, Derivate

1Successioni aritmetiche e geometriche

Una successione è un elenco di numeri a₁, a₂, a₃, … e una serie è la loro somma. Due tipi ricorrono in ogni esame.

Una successione aritmetica somma la stessa differenza d a ogni passo: 3, 7, 11, 15, … ha d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Per 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 e S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Nota l’n − 1: dal primo al 20º termine ci sono solo 19 passi.

Una successione geometrica moltiplica per la stessa ragione r a ogni passo: 2, 6, 18, … ha r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Autoverifica Qual è il 10º termine di 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Risposta: 32. d = 3, quindi a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Usare 10·3 invece di 9·3 dà 35.

2Serie geometrica infinita

Continua a sommare i termini di 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … e la somma sale lentamente verso 4 senza mai superarlo.

nSₙ4123456789233,5

Quando |r| < 1 il termine rⁿ in Sₙ tende a 0, e la somma infinita esiste:

S = a₁/(1 − r), solo per |r| < 1

Qui a₁ è il primo termine della somma. Per Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ il primo termine è 8·(1/2)² = 2, quindi S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Quando |r| ≥ 1 i termini non diminuiscono e la serie non ha somma: diverge.

Autoverifica Quanto vale Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Risposta: 4. Il primo termine (k = 0) è 3 e r = 1/4, quindi S = 3/(1 − 1/4) = 4. Usare 1 + r al denominatore dà 2,4.

3Una serie converge?

La maggior parte delle serie non ha una formula semplice per la somma, ma si può comunque decidere se la somma è finita. Usa i criteri in quest’ordine:

  1. Criterio del termine n-esimo: se i termini non tendono a 0, la serie diverge. Σ k/(k + 1) diverge perché i suoi termini tendono a 1.
  2. Serie notevoli: Σ1/kᵖ converge solo per p > 1 (quindi Σ1/k, la serie armonica, diverge). Σrᵏ converge solo per |r| < 1.
  3. Confronto: 1/(k² + 3) è minore di 1/k², quindi converge anche Σ1/(k² + 3).
  4. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non dà risposta. Usalo per fattoriali e potenze k-esime.
  5. Serie a segni alterni: Σ(−1)ᵏ/k converge, perché i termini alternano il segno e decrescono a 0.

Esempio: per Σ k/2ᵏ il rapporto è ((k + 1)/k)·(1/2), che tende a L = 1/2 < 1, quindi converge.

Autoverifica Quale di queste serie diverge?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Risposta: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 è una serie armonica generalizzata con p = 1/2 ≤ 1, quindi diverge. 1/k² ha p = 2, (2/3)ᵏ è geometrica con r < 1, e il criterio del rapporto dà L = 0 per 3ᵏ/k!.

4Serie di potenze e raggio di convergenza

Una serie di potenze Σ ck(x − x₀)ᵏ è un polinomio senza fine. Converge per x abbastanza vicino al centro x₀.

Il criterio del rapporto applicato all’intero termine dà il raggio di convergenza R: la serie converge per |x − x₀| < R e diverge per |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Esempio: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) ha ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, che tende a 3. Quindi R = 3 e la serie converge per −3 < x < 3.

Nei due estremi il criterio non dà risposta; verificali separatamente se la domanda chiede l’intervallo completo.

5polinomi di Taylor e Maclaurin

Vicino a un punto a, una funzione regolare assomiglia a un polinomio. Il polinomio di Taylor di grado n coincide con il valore e le prime n derivate in a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Per a = 0 si chiama polinomio di Maclaurin. Impara a memoria queste serie:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Più termini prendi, più a lungo il polinomio resta vicino alla funzione.

Esempio svolto

Approssima e0,5 con il polinomio di Maclaurin di grado 3 e maggiora l’errore.

1

Scrivi il polinomio

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Sostituisci x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Maggiorazione di Lagrange

L’errore è al più M·|x|⁴/4!, dove M è il massimo valore della derivata quarta eᵗ tra 0 e 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Confronta

La calcolatrice dà e0,5 = 1,648721, quindi l’errore vero è 0,0029, entro la maggiorazione.

Risposta

e0,5 ≈ 1,6458, con un errore al più di 0,0043.

6Errori comuni e domande d’esame

  • Usare n invece di n − 1 passi per il termine n-esimo.
  • Scrivere a/(1 − r) con il primo termine sbagliato quando la somma non parte da k = 0.
  • Concludere che una serie converge perché i suoi termini tendono a 0. Σ1/k è il controesempio.
  • Dimenticare i fattoriali in un polinomio di Taylor, o i segni meno di sin e cos.
  • Usare |x|ⁿ/n! invece di |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! nella maggiorazione dell’errore.

Facile: somme di successioni aritmetiche e geometriche. Medio: decidere la convergenza, il criterio del rapporto e il raggio di convergenza. Difficile: polinomi di Taylor, i loro coefficienti e le maggiorazioni dell’errore.

Autoverifica Qual è il coefficiente di x³ nella serie di Maclaurin di sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Risposta: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, e 3! = 6, quindi il coefficiente è −1/6. Dimenticare il segno meno dà 1/6.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
kak​13579111315ε = 0,2

La successione geometrica aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ è decrescente. Trova il primo indice n per cui aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Calcola n

Mostra i suggerimenti
  1. Risolvi 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 con i logaritmi.
  2. ln 0,85 è negativo: dividere per esso inverte la disuguaglianza.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Serie aritmetiche e geometriche: una successione aritmetica somma la stessa differenza d a ogni passo, aₙ = a₁ + (n − 1)d, e la sua somma è Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Una successione geometrica moltiplica per la stessa ragione r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, con Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Quando |r| < 1 i termini diminuiscono abbastanza in fretta da far esistere la somma infinita: S = a₁/(1 − r), dove a₁ è il primo termine della somma.

Disuguaglianza

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logaritmi

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Verifica

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Risposta

n = 21
Esempio 2Media
kSn​12345678910S = ?

Trova la somma S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calcola S

Mostra i suggerimenti
  1. Fratti semplici: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Scrivi i primi termini: la maggior parte si semplifica (una somma telescopica).
  3. Ciò che resta è (12/3)·(1 + … + 1/3).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Fratti semplici

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annulla

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Risposta

S = 7,333
Esempio 3Difficile

f(x) = cos x è approssimata in x = 1 dal suo polinomio di Maclaurin di grado n. Con la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! e M = 1, trova il grado minimo n che garantisce un errore inferiore a 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Calcola n

Mostra i suggerimenti
  1. Prova n = 1, 2, 3, … e calcola ogni volta 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
  2. Il fattoriale cresce in fretta, quindi bastano pochi passi.
  3. Fermati al primo n in cui la maggiorazione è inferiore a 1 × 10⁻⁶.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

n(n + 1)!maggiorazione011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Maggiorazioni al crescere di n

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Grado minimo

n = 9

Risposta

n = 9

Domande e risposte

Successioni e serie: di cosa si tratta?

Una successione è un elenco di numeri a₁, a₂, a₃, … e una serie è la loro somma. Due tipi ricorrono in ogni esame.

Una successione aritmetica somma la stessa differenza d a ogni passo: 3, 7, 11, 15, … ha d = 4.

Successioni e serie: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
  2. Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
  3. Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
  4. Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Successioni e serie: quali sono gli errori più comuni?
  • Usare n invece di n − 1 in aₙ = a₁ + (n − 1)d o a₁rⁿ⁻¹.
  • Usare la formula della somma infinita quando |r| ≥ 1, o con il primo termine sbagliato.
  • Concludere la convergenza solo perché i termini tendono a 0.
  • Invertire il limite del criterio del rapporto: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, non il suo reciproco.
  • Dimenticare i fattoriali o i segni alterni in un polinomio di Taylor.
Successioni e serie: che cosa si esercita?
  • Facile: serie aritmetiche e geometriche
  • Media: convergenza e serie di potenze
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