Intervalli di confidenza: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: intervallo di confidenza · stima intervallare

Esercizi gratuiti su Intervalli di confidenza con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: intervallo z, intervallo t, numerosità campionaria.

Esercizio gratuitoFacile
LU = ?p̂ = 55/100E90%

In un sondaggio su 100 elettori scelti a caso, 55 sostengono una proposta. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la proporzione di sostenitori.

n = 100x = 5590%
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Su cosa ti eserciti

  1. Facileintervallo z
  2. Mediaintervallo t
  3. Difficilenumerosità campionaria

Come risolvere gli esercizi di Intervalli di confidenza

  1. Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
  2. Trova il valore critico per il livello di confidenza.
  3. Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
  4. Intervallo: x̄ ± E.

Errori comuni

  • Dimenticare di dividere per √n.
  • Usare z quando il campione è piccolo e σ è incognita.
  • Arrotondare la dimensione del campione per difetto invece che per eccesso.

Formule chiave

σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up

Impara Intervalli di confidenza da zero

Prima di questo: Distribuzione normale

1Che cos’è un intervallo di confidenza

Vuoi la media μ di un’intera popolazione, per esempio la durata media di tutte le batterie prodotte da una fabbrica. Non puoi provarle tutte, quindi provi un campione di n batterie.

La media campionaria x̄ è la tua migliore stima di μ, ma un altro campione darebbe un x̄ leggermente diverso. Un singolo numero nasconde questa incertezza.

Un intervallo di confidenza dà invece un intervallo: da x̄ meno un margine, fino a x̄ più un margine.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

Un intervallo di confidenza al 95% è costruito con un metodo che include il vero μ nel 95% di tutti i campioni. Un livello di confidenza più alto dà un intervallo più largo.

Autoverifica Calcoli un intervallo di confidenza al 90% e uno al 99% dallo stesso campione. Quale è più largo?
  1. Dipende dalla media campionaria
  2. L’intervallo al 90%
  3. L’intervallo al 99%
  4. Sono ugualmente larghi

Risposta: L’intervallo al 99%. Per essere più sicuri che l’intervallo contenga μ, deve essere più largo. Il valore critico al 99%, 2,576, è maggiore di quello al 90%, 1,645.

2L’intervallo z

Quando la deviazione standard della popolazione σ è nota, l’intervallo è:

x̄ ± z · σ / √n

Il termine σ/√n è l’errore standard: quanto x̄ varia da campione a campione. Un campione più grande dà un errore standard più piccolo.

Il valore critico z dipende dal livello di confidenza. Impara questi tre:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

Il margine di errore è E = z · σ/√n. L’intervallo va da x̄ − E (il limite inferiore) a x̄ + E (il limite superiore).

Autoverifica Un campione di 64 ha media 55. La σ della popolazione è 12. Qual è il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95%?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Risposta: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, quindi il limite superiore è 57,94. Dimenticare √n dà 78,52, e 57,47 usa il valore al 90%, 1,645.

3L’intervallo t e la dimensione del campione

Di solito σ non è nota. Allora usi la deviazione standard campionaria s, e il valore critico viene dalla distribuzione t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Il numero di gradi di libertà gdl è n − 1. Il valore t è maggiore di z, quindi l’intervallo è più largo: tiene conto dell’incertezza aggiuntiva su s. Per n grande, t si avvicina a z.

Al 95%: t = 2,262 per gdl = 9, t = 2,131 per gdl = 15 e t = 2,045 per gdl = 29.

A volte devi pianificare la dimensione del campione: quanto grande deve essere n per un margine di errore al massimo E? Risolvi E = zσ/√n per n:

n = (z · σ / E)²

Arrotonda sempre per eccesso all’intero successivo. Arrotondare per difetto darebbe un margine leggermente maggiore di E.

Autoverifica σ = 13. Quanto grande deve essere il campione per un intervallo al 95% con un margine di errore al massimo di 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Risposta: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, arrotondato per eccesso a 163. Arrotondare per difetto a 162 dà un margine appena sopra 2, e 13 dimentica di elevare al quadrato.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Scrivi n, x̄, e σ oppure s.
  2. Scegli z (σ nota) oppure t con gdl = n − 1 (nota solo s).
  3. Trova il valore critico per il livello di confidenza.
  4. Calcola l’errore standard: σ/√n oppure s/√n.
  5. Margine di errore: E = valore critico × errore standard.
  6. Intervallo: da x̄ − E a x̄ + E. Dai il limite richiesto.

Per una domanda sulla dimensione del campione: n = (zσ/E)², arrotondato per eccesso.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un campione di 16 elementi ha media 40 e deviazione standard s = 6. La popolazione è approssimativamente normale. Trova l’intervallo di confidenza al 95% per la media.

1

z o t?

È nota solo la deviazione standard campionaria s, non σ. Quindi usa t con gdl = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Errore standard

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Margine di errore

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

L’intervallo

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Controlla il risultato

Con z = 1,96 il margine sarebbe 2,94. L’intervallo t è un po’ più largo, come deve essere quando σ è ignota.

Risposta

L’intervallo di confidenza al 95% è [36,80, 43,20].

6Errori comuni

  • Dimenticare di dividere per √n.
  • Usare z quando il campione è piccolo e σ è incognita.
  • Usare gdl = n invece di gdl = n − 1 per t.
  • Usare il valore al 90%, 1,645, per un intervallo al 95%.
  • Arrotondare la dimensione del campione per difetto invece che per eccesso.
Autoverifica Un campione di n = 10 ha deviazione standard s = 5. σ è ignota. Quale valore critico usi per un intervallo al 95%?
  1. t = 2,228 (gdl = 10)
  2. t = 2,262 (gdl = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Risposta: t = 2,262 (gdl = 9). σ è ignota, quindi usa t con gdl = n − 1 = 9. Usare z ignora l’incertezza su s, e gdl = 10 dimentica il meno uno.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: un intervallo z. σ è nota; trova il limite inferiore o superiore.
  • Medio: un intervallo t. È data solo s; il valore t con n − 1 gradi di libertà è dato o si ricava da una tabella.
  • Difficile: dimensione del campione. Trova il più piccolo n per un dato margine di errore, e arrotonda per eccesso.

Un controllo rapido: la media campionaria sta sempre esattamente al centro dell’intervallo.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Un campione di 200 misure ha media 174,5. La deviazione standard della popolazione è nota ed è pari a 30. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Calcola limite superiore

Mostra i suggerimenti
  1. σ è nota, quindi usa il valore critico z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Margine di errore

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Intervallo

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Risposta

limite superiore = 178
Esempio 2Media
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 50 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 7,8. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 100 osservazioni?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Calcola E₂

Mostra i suggerimenti
  1. E = z·σ/√n, e σ resta la stessa.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Nuovo margine

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Risposta

E₂ = 5,515
Esempio 3Difficile
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

I diametri di 21 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 1,2 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 20, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 9,591 e il 2,5% sopra 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Calcola σ (µm)

Mostra i suggerimenti
  1. Per una popolazione normale, (n − 1)s²/σ² segue una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà.
  2. Intervallo per σ²: da (n − 1)s²/34,17 a (n − 1)s²/9,591. Estrai le radici quadrate per σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Limiti per σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Limite per σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Risposta

σ = 1,733 µm

Intervallo al 95% per σ: [0,9181, 1,733] µm.

Domande e risposte

Intervalli di confidenza: di cosa si tratta?

Vuoi la media μ di un’intera popolazione, per esempio la durata media di tutte le batterie prodotte da una fabbrica. Non puoi provarle tutte, quindi provi un campione di n batterie.

La media campionaria x̄ è la tua migliore stima di μ, ma un altro campione darebbe un x̄ leggermente diverso. Un singolo numero nasconde questa incertezza.

Intervalli di confidenza: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
  2. Trova il valore critico per il livello di confidenza.
  3. Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
  4. Intervallo: x̄ ± E.
Intervalli di confidenza: quali sono gli errori più comuni?
  • Dimenticare di dividere per √n.
  • Usare z quando il campione è piccolo e σ è incognita.
  • Arrotondare la dimensione del campione per difetto invece che per eccesso.
Intervalli di confidenza: che cosa si esercita?
  • Facile: intervallo z
  • Media: intervallo t
  • Difficile: numerosità campionaria

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Distribuzione normale

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Calcolatrice dell’intervallo di confidenzaCalcolatrice della dimensione del campione

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