Test d'ipotesi e intervalli di confidenza: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: verifica di ipotesi · test t di Student · p-value

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Esercizio gratuitoFacile
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Un fornitore afferma che la resistenza media alla rottura di un cavo è 50 kN; sospetti che sia più alta. La deviazione standard è nota e vale 8 kN. Preleverai un campione di 25 cavi e verificherai H₀: μ = 50 kN contro H₁: μ > 50 kN con α = 0,05. Al di sopra di quale media campionaria x̄c rifiuterai H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilestatistica z
  2. Mediastatistica t
  3. Difficileintervalli di confidenza

Come risolvere gli esercizi di Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

  1. Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
  2. Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
  3. Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
  4. Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Errori comuni

  • Usare un valore critico unilaterale per un test bilaterale.
  • Dire che H₀ è dimostrata vera quando non viene rifiutata.
  • Dimenticare √n nell’errore standard.

Formule chiave

Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n

Impara Test d'ipotesi e intervalli di confidenza da zero

Prima di questo: Intervalli di confidenza

1L’idea di un test

Una macchina dovrebbe riempire bottiglie con 500 mL in media. Un campione di bottiglie ha una media di 496 mL. La macchina sbaglia, o è solo il caso?

Un test d’ipotesi risponde a questa domanda con i numeri. Parti da due affermazioni:

  • L’ipotesi nulla H₀: nulla è cambiato. Qui H₀: μ = 500.
  • L’ipotesi alternativa H₁: ciò che sospetti. Qui H₁: μ ≠ 500 (bilaterale), oppure μ < 500 se ti preoccupa solo il riempimento insufficiente (unilaterale).

Assumi che H₀ sia vera e ti chiedi: quanto è insolito questo campione? Se fosse molto insolito, rifiuti H₀.

Autoverifica Un fornitore afferma che i suoi resistori hanno in media 220 Ω. Vuoi verificare questa affermazione. Qual è H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Risposta: μ = 220 Ω. H₀ è l’affermazione sottoposta a verifica, sulla media della popolazione μ. μ ≠ 220 Ω è l’alternativa H₁, e un’ipotesi non riguarda mai la media campionaria x̄, che già conosci.

2La statistica test

La statistica test misura quanto la media campionaria dista da μ₀, il valore in H₀, in unità di errore standard.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Usa z quando la deviazione standard della popolazione σ è nota. Quando è nota solo la deviazione standard campionaria s, usa t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Un valore di z o t vicino a 0 significa che il campione concorda con H₀. Un valore grande, positivo o negativo, significa che il campione è lontano da μ₀.

Autoverifica H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 e x̄ = 118. Quanto vale z?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Risposta: −1. L’errore standard è 8/√16 = 2, quindi z = (118 − 120)/2 = −1. Dividere per σ = 8 invece che per σ/√n dà −0,25. Il segno è negativo perché x̄ è sotto μ₀.

3Decidere: valori critici e p-value

Prima di guardare i dati, scegli il livello di significatività α, di solito 0,05. È il rischio che accetti di rifiutare una H₀ vera.

Per un test z con α = 0,05:

  • Bilaterale (H₁: μ ≠ μ₀): rifiuta H₀ se |z| > 1,96.
  • Unilaterale (H₁: μ > μ₀): rifiuta H₀ se z > 1,645. Per μ < μ₀: rifiuta se z < −1,645.

Il p-value è la probabilità di un risultato almeno così estremo se H₀ è vera. Rifiuta H₀ quando p < α.

Non rifiutare H₀ non la dimostra. Significa solo che i dati non sono una prova abbastanza forte contro di essa.

Un test e un intervallo di confidenza concordano: un test bilaterale al 5% rifiuta H₀ esattamente quando μ₀ sta fuori dall’intervallo al 95% x̄ ± 1,96 · σ/√n.

Autoverifica Un test z bilaterale con α = 0,05 dà z = 1,8. Che cosa concludi?
  1. H₀ è dimostrata vera
  2. Non rifiutare H₀
  3. Rifiutare H₀
  4. Rifiutare H₁ e accettare H₀ come dimostrata

Risposta: Non rifiutare H₀. |1,8| è minore di 1,96, quindi il risultato non è significativo e H₀ non viene rifiutata. Questo non dimostra H₀; la prova semplicemente non è abbastanza forte.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Enuncia H₀ e H₁, e decidi se il test è unilaterale o bilaterale.
  2. Scegli z (σ nota) oppure t (nota solo s, gdl = n − 1).
  3. Calcola l’errore standard σ/√n oppure s/√n.
  4. Calcola la statistica test (x̄ − μ₀) / errore standard.
  5. Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
  6. Esprimi la conclusione a parole, nei termini della domanda.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Una macchina dovrebbe riempire bottiglie con 500 mL in media. σ = 12 mL. Un campione di 36 bottiglie ha una media di 496 mL. Verifica H₀: μ = 500 contro H₁: μ ≠ 500 con α = 0,05.

1

Ipotesi

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Il test è bilaterale, quindi i valori critici sono ±1,96.

2

Errore standard

σ è nota, quindi usa z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Statistica test

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Confronta

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 è maggiore di 1,96, quindi z cade nella regione di rifiuto evidenziata.

5

Verifica con un intervallo

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

Il valore 500 sta fuori dall’intervallo al 95%, quindi l’intervallo dà la stessa decisione.

Risposta

z = −2. Rifiuta H₀ al livello del 5%: il riempimento medio della macchina è diverso da 500 mL.

6Errori comuni

  • Usare un valore critico unilaterale (1,645) per un test bilaterale, o viceversa.
  • Dire che H₀ è dimostrata vera quando non viene rifiutata.
  • Dimenticare √n nell’errore standard.
  • Scrivere x̄ − μ₀ al contrario, il che inverte il segno di z.
  • Usare z quando è nota solo la s campionaria per un campione piccolo.
Autoverifica Un test unilaterale con H₁: μ > μ₀ e α = 0,05 dà z = 1,8. Che cosa concludi?
  1. Non rifiutare H₀, perché 1,8 < 1,96
  2. Non rifiutare H₀, perché 1,8 < 2,576
  3. Rifiutare H₀, perché 1,8 > 1,645
  4. Rifiutare H₀, perché z è positivo

Risposta: Rifiutare H₀, perché 1,8 > 1,645. Un test unilaterale al 5% mette tutto il 5% in una sola coda, quindi il valore critico è 1,645. Confrontare con 1,96 usa per errore il valore bilaterale.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: la statistica z. σ è nota; calcola z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Medio: la statistica t. È data solo la deviazione standard campionaria s; calcola t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Difficile: intervalli di confidenza. Trova il limite inferiore o superiore di x̄ ± z · σ/√n al 95% o al 99%.

Un controllo rapido: se x̄ è sotto μ₀, la statistica test deve essere negativa.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
z −1,9601,96

Una macchina deve riempire le bottiglie con 100 mL in media. La deviazione standard è nota e vale 4 mL. Un campione di 81 bottiglie ha media 99,6 mL. Trova la statistica test z per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Calcola z

Mostra i suggerimenti
  1. L'errore standard della media è la deviazione standard divisa per √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Poi dividi la differenza x̄ − μ₀ per l'errore standard. Mantieni il segno.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Statistica test

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Risposta

z = −0,9

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

Esempio 2Media
t −1,99801,998

Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 504,5 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Calcola t

Mostra i suggerimenti
  1. L'errore standard della media è la deviazione standard divisa per √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Poi dividi la differenza x̄ − μ₀ per l'errore standard. Mantieni il segno.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statistica test

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Risposta

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

Esempio 3Difficile
z −2,57602,576

Un campione di 64 misure ha media 80. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Calcola L

Mostra i suggerimenti
  1. Intervallo di confidenza: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 per 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Margine di errore

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Limite dell'intervallo

L = 80 − 6,44 = 73,56

Risposta

L = 73,56

Domande e risposte

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza: di cosa si tratta?

Una macchina dovrebbe riempire bottiglie con 500 mL in media. Un campione di bottiglie ha una media di 496 mL. La macchina sbaglia, o è solo il caso?

Un test d’ipotesi risponde a questa domanda con i numeri. Parti da due affermazioni:

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
  2. Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
  3. Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
  4. Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza: quali sono gli errori più comuni?
  • Usare un valore critico unilaterale per un test bilaterale.
  • Dire che H₀ è dimostrata vera quando non viene rifiutata.
  • Dimenticare √n nell’errore standard.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza: che cosa si esercita?
  • Facile: statistica z
  • Media: statistica t
  • Difficile: intervalli di confidenza

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