Derivate: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: calcolo delle derivate · regole di derivazione

Esercizi gratuiti su Derivate con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: regola della potenza, regole della catena e del prodotto, tangenti ed estremi.

Esercizio gratuitoFacile
xyx = −2

Sia f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Trova la pendenza del grafico in x = −2, cioè f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
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Su cosa ti eserciti

  1. Facileregola della potenza
  2. Mediaregole della catena e del prodotto
  3. Difficiletangenti ed estremi

Come risolvere gli esercizi di Derivate

  1. Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
  2. Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
  3. Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
  4. Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Errori comuni

  • Dimenticare la derivata interna nella regola della catena.
  • Sbagliare l’ordine nella regola del quoziente.
  • Trattare un multiplo costante come un prodotto.

Formule chiave

Regola della potenza
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto
(uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Impara Derivate da zero

Prima di questo: Limiti

1Che cos’è una derivata

Una derivata misura quanto velocemente cambia qualcosa. Se la posizione di un’auto cambia di 50 km ogni ora, la sua velocità è 50 km/h: la velocità di variazione della posizione.

Su un grafico, la derivata in un punto è la pendenza della curva in quel punto: quanto ripidamente sale o scende se ingrandisci moltissimo.

Quella pendenza è la pendenza della tangente, la retta che tocca appena la curva in quel punto.

xy(1, 1)m = 2

Per y = x² la tangente in x = 1 ha pendenza 2. Scriviamo f′(1) = 2, che si legge “f primo di 1”.

  • Derivata positiva: il grafico sale.
  • Derivata negativa: il grafico scende.
  • Derivata nulla: il grafico è piatto in quel punto, per esempio in un massimo o in un minimo.
Autoverifica In un punto in cui il grafico di f scende, la derivata è…
  1. negativa
  2. non definita
  3. nulla
  4. positiva

Risposta: negativa. La derivata è la pendenza. Un grafico che scende da sinistra a destra ha pendenza negativa.

2Le regole di base

Non servono i limiti ogni volta. Poche regole coprono la maggior parte delle funzioni.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Questa è la regola della potenza: porta l’esponente davanti e diminuiscilo di uno. Quindi (x³)′ = 3x² e (x)′ = 1.

  • Una costante da sola ha derivata 0: non cambia.
  • Un fattore costante rimane: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • In una somma, deriva ogni termine separatamente.

Impara anche queste: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x e (cos x)′ = −sin x.

Autoverifica Qual è la derivata di 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Risposta: 12x² − 2. Regola della potenza su ogni termine: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 e la costante 7 dà 0.

3Regole del prodotto e della catena

Altre due regole trattano le funzioni costruite a partire da altre funzioni.

Regola del prodotto, per due funzioni moltiplicate tra loro:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Regola della catena, per una funzione dentro un’altra funzione: deriva la funzione esterna, lascia invariata quella interna, poi moltiplica per la derivata di quella interna.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

La regola del quoziente segue da queste due: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Autoverifica Qual è la derivata di (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Risposta: 6(2x + 5)². Esterna: 3(2x + 5)². Interna: (2x + 5)′ = 2. Moltiplica: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Dimenticare il 2 interno è l’errore classico.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Osserva la struttura: una somma di termini, un prodotto, un quoziente o una funzione dentro un’altra funzione.
  2. Riscrivi prima radici e frazioni come potenze: √x = x1/2 e 1/x² = x−2.
  3. Applica le regole dall’esterno verso l’interno, un pezzo alla volta.
  4. Semplifica il risultato.
  5. Se viene chiesto un valore, inserisci il numero solo alla fine.

Per trovare un massimo o un minimo di un grafico (un estremo), risolvi f′(x) = 0. La derivata seconda ti dice quale dei due è: f″ < 0 è un massimo, f″ > 0 un minimo.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Sia f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Trova la pendenza in x = 0, e il massimo e il minimo locali.

1

Deriva termine per termine

Usa la regola della potenza su ogni termine. La costante 1 scompare.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

La pendenza in x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Quindi la tangente in x = 0 sale di 9 unità per ogni unità verso destra.

3

Poni la derivata uguale a zero

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Qual è il massimo?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 è negativa, quindi x = 1 è un massimo. f″(3) = 6 è positiva, quindi x = 3 è un minimo.

5

Trova i valori

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

Il grafico lo conferma: piatto in entrambi i punti, un massimo in (1, 5) e un minimo in (3, 1).

Risposta

f′(0) = 9. Massimo locale in (1, 5), minimo locale in (3, 1).

6Errori comuni

  • Dimenticare la derivata della funzione interna nella regola della catena.
  • Scrivere (u · v)′ = u′ · v′. La regola del prodotto ha due termini.
  • Sbagliare l’ordine nella regola del quoziente: al numeratore c’è u′v − uv′, con il meno.
  • Inserire il numero prima di derivare. Prima deriva, poi sostituisci.
  • Trattare un multiplo costante come 5x³ come un prodotto. È più semplice: il 5 rimane com’è.
Autoverifica Qual è la derivata di √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Risposta: 1/(2√x). √x = x1/2, quindi la derivata è ½x−1/2 = 1/(2√x). Riscrivere prima la radice come potenza rende tutto facile.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: un polinomio. Usa la regola della potenza e trova la pendenza in un dato x.
  • Medio: la regola della catena o del prodotto, per esempio (2x + 5)⁵ oppure x²·e−x, calcolata in un punto.
  • Difficile: tangenti ed estremi. Risolvi f′(x) = 0 e decidi quale punto è il massimo.

Un rapido controllo per le domande sulla pendenza: guarda il grafico con la mente. Se lì sale, la tua risposta dovrebbe essere positiva.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
xyx = 1

Sia f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Trova la pendenza del grafico in x = 1, cioè f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Calcola f′(1)

Mostra i suggerimenti
  1. Deriva termine per termine con la regola della potenza (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Una costante sparisce.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Ora sostituisci x = 1.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Deriva termine per termine

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Sostituisci

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Risposta

f′(1) = −6
Esempio 2Media
xyx = 1

Sia f(x) = x3·e−x. Trova f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Calcola f′(1)

Mostra i suggerimenti
  1. Regola del prodotto con u = x3 e v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola del prodotto

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Sostituisci

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Risposta

f′(1) = 0,7358
Esempio 3Difficile
xy

Sia f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Trova l'ascissa x del minimo locale.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Calcola x

Mostra i suggerimenti
  1. In un massimo o minimo locale la derivata è zero.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Per una cubica con termine x³ positivo, il massimo viene prima (x minore) e il minimo dopo.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Derivata

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Risolvi f′(x) = 0

x = 3 oppure x = 6

Qual è quale

f″(x) = 6x − 27: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Risposta

x = 6

Domande e risposte

Derivate: di cosa si tratta?

Una derivata misura quanto velocemente cambia qualcosa. Se la posizione di un’auto cambia di 50 km ogni ora, la sua velocità è 50 km/h: la velocità di variazione della posizione.

Su un grafico, la derivata in un punto è la pendenza della curva in quel punto: quanto ripidamente sale o scende se ingrandisci moltissimo.

Derivate: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
  2. Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
  3. Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
  4. Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.
Derivate: quali sono gli errori più comuni?
  • Dimenticare la derivata interna nella regola della catena.
  • Sbagliare l’ordine nella regola del quoziente.
  • Trattare un multiplo costante come un prodotto.
Derivate: che cosa si esercita?
  • Facile: regola della potenza
  • Media: regole della catena e del prodotto
  • Difficile: tangenti ed estremi

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