Analisi 2: esercizi e domande d’esame

Il secondo corso di analisi: tecniche di integrazione, successioni e serie con criteri di convergenza, serie di potenze e polinomi di Taylor, e analisi in più variabili con derivate parziali, gradienti, punti critici e integrali doppi. A seconda del curriculum, parte di questo materiale è trattata in Analisi 3.

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Argomenti di questo corso

Consigli per l’esame di Analisi 2

Prima di qualsiasi criterio di convergenza, verifica che i termini tendano a 0; se non è così, la serie diverge.
Scrivi il polinomio di Taylor con i fattoriali al loro posto prima di sostituire un numero.
Per un integrale doppio, disegna prima la regione: il disegno dà gli estremi dell’integrale interno.

Esempi svolti

IntegraliFacile

La regione sotto y = 0,5x da x = 0 a x = 3 viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido (un cono).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Calcola V

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Una fetta in x è un disco di raggio y = 0,5x.
V = π∫₀³ (0,5x)² dx.
= π·0,25·x³/3.

Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Volumi di rotazione: ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = f(x) da x = a a x = b si ottiene un solido la cui sezione in x è un disco di raggio f(x). Sommando i dischi si ha V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando la regione sta tra una curva esterna R(x) e una interna r(x), ogni fetta è una rondella: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva al quadrato i raggi prima di sottrarli.

Metodo dei dischi

V = π∫₀³ 0,25x² dx

Integra

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Risposta

V = 7,069

Verifica: un cono di raggio 1,5 e altezza 3 ha (1/3)πr²h = 7,069.

Successioni e serieMedia

Trova la somma S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

Calcola S

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Fratti semplici: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
Scrivi i primi termini: la maggior parte si semplifica (una somma telescopica).
Ciò che resta è (12/3)·(1 + … + 1/3).

Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Fratti semplici

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annulla

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Risposta

S = 7,333

Come funziona l’esercitazione

“Esercitati su questo corso” mescola esercizi di tutti i suoi argomenti, come in un vero esame.
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Le simulazioni d’esame sono a tempo e senza suggerimenti; alla fine ricevi il punteggio e una revisione completa.

Calcolatrici per questo corso

Calcolatrice del tempo di dimezzamento e del decadimento esponenziale Calcolatrice di integrali (definiti e indefiniti)

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