Calcolatrice di integrali (definiti e indefiniti)
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Risultato
La primitiva di 1/x è ln|x|: il valore assoluto la rende valida anche per x negativo.
Trova una primitiva o calcola un integrale definito. Per somme di termini standard, come potenze di x, 1/x, e^(ax + b), sin, cos e sec² di ax + b, (ax + b)ⁿ e ln(ax + b), la calcolatrice integra termine per termine e calcola F(b) − F(a) in forma esatta. Qualsiasi altra funzione continua viene integrata numericamente con la regola di Simpson adattiva, e la calcolatrice avvisa per gli integrali impropri.
Soluzione passo passo
Leggi la funzione e gli estremi
Trova una primitiva, termine per termine
Calcola F(b) − F(a)
Verifica numerica
Formule chiave
- Regola della potenza
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Integrale definito
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Integrali fondamentali
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Area tra due curve
- ∫ab (f − g) dx
Come calcolare un integrale definito
- Scomponi la funzione integranda in una somma di termini e integra ciascuno separatamente; i fattori costanti restano davanti.
- Usa la regola della potenza ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) per n ≠ −1, e ∫ 1/x dx = ln|x|.
- Per una funzione di ax + b dividi per a: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a e ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- Calcola la primitiva negli estremi superiore e inferiore e sottrai: ∫ f(x) dx da a a b = F(b) − F(a). La costante C si elimina.
- Verifica che la funzione integranda sia continua su [a, b]. Se ha un asintoto verticale al suo interno, come 1/x in x = 0, l’integrale è improprio e richiede un limite.
Domande e risposte
Quali integrali risolve in forma esatta la calcolatrice?
Somme di multipli costanti di xⁿ (con qualsiasi n razionale), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), sec·tan e csc·cot di ax + b, (ax + b)ⁿ e ln(ax + b). Prodotti come x·eˣ richiedono l’integrazione per parti e vengono invece calcolati numericamente.
Quanto è accurata l’integrazione numerica?
La regola di Simpson adattiva continua a dimezzare le parti dell’intervallo in cui la stima cambia, finché concorda fino a circa dieci cifre significative per le funzioni regolari. La calcolatrice mostra il numero di valutazioni della funzione e una stima dell’errore.
Che cos’è il + C?
La costante di integrazione. Ogni funzione ha infinite primitive che differiscono per una costante, perché la derivata di una costante è zero. In un integrale definito si elimina.
Perché ricevo un errore sull’integrale improprio?
La funzione integranda non è definita o è infinita in qualche punto di [a, b], per esempio 1/x su [−1, 1] o tan(x) attraverso π/2. Tali integrali richiedono un limite e possono divergere, quindi la calcolatrice non ne dà un valore.
Posso usare π negli estremi?
Sì. Scrivi pi, pi/2 o 2pi, oppure e, come estremo; per esempio l’integrale di sin(x) da 0 a pi vale 2.
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Esercitati su Integrali
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