Risolutore di equazioni di secondo grado (ax² + bx + c = 0)

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Risultato

Radicix₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2,5
x₂−1
Discriminante Δ49
Natura delle radicidue radici reali distinte
Vertice(0,75, −6,125)
Asse di simmetriax = 0,75
Intercetta con l’asse y−5
La parabola si apreverso l’alto (minimo nel vertice)
Forma fattorizzata(2x − 5)(x + 1)

Risolvi qualsiasi equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0. La calcolatrice calcola il discriminante, usa la formula risolutiva e dà le radici sia in forma decimale sia in forma esatta, come frazioni o radici quadrate semplificate come 2 ± √3, comprese le radici complesse. Trova anche il vertice, l’asse di simmetria e la forma scomposta, e verifica le radici con le formule di Viète.

Soluzione passo passo

Individua a, b e c

2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5

Discriminante

Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → due radici reali distinte

Formula risolutiva

x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
esatto: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2,5, x₂ = −1

Vertice e asse di simmetria

h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0,75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6,125
forma a vertice: y = 2(x − 0,75)2 − 6,125

Forma fattorizzata

2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)

Verifica con le formule di Viète

x₁ + x₂ = −b/a = 1,5
x₁·x₂ = c/a = −2,5

Formule chiave

Equazione quadratica con p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Come risolvere un’equazione di secondo grado

  1. Scrivi l’equazione in forma normale ax² + bx + c = 0 e leggi a, b e c, con i loro segni.
  2. Calcola il discriminante Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0 ci sono due radici reali, se Δ = 0 una radice doppia e se Δ < 0 due radici complesse coniugate.
  3. Usa la formula risolutiva x = (−b ± √Δ)/(2a). Semplifica la radice quadrata portando fuori i fattori quadrati: √12 = 2√3.
  4. Per Δ < 0 scrivi √Δ = i·√|Δ|, quindi le radici sono −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
  5. Il vertice della parabola y = ax² + bx + c è in x = −b/(2a); sostituiscilo per trovare l’ordinata.
  6. Verifica: la somma delle radici è −b/a e il loro prodotto è c/a.

Domande e risposte

Quando posso scomporre invece di usare la formula?

Quando il discriminante è un quadrato perfetto e i coefficienti sono interi, le radici sono razionali e il trinomio si scompone sugli interi, come 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). Altrimenti la formula risolutiva è il metodo affidabile.

Che cosa significa un discriminante negativo?

La parabola non interseca l’asse x, quindi non ci sono radici reali. Le due radici sono complesse coniugate p ± qi, importanti per esempio nelle vibrazioni smorzate e nell’analisi dei circuiti.

Che cos’è la forma a vertice?

y = a(x − h)² + k, dove (h, k) è il vertice. Mostra direttamente il minimo (a > 0) o il massimo (a < 0) della parabola e si ottiene completando il quadrato.

E se a = 0?

Allora l’equazione è lineare, bx + c = 0, con l’unica soluzione x = −c/b. La formula risolutiva dividerebbe per zero, quindi la calcolatrice richiede un a diverso da zero.

Perché la calcolatrice dà radici esatte?

Agli esami si chiedono spesso risposte come (3 ± √17)/4 invece dei decimali. Quando a, b e c sono interi o decimali, la calcolatrice lavora con frazioni esatte e semplifica la radice quadrata.

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