Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Calcola il limite L = limx→∞ (1 + 3/x)x. Dai un valore decimale.
Calcola il limite L = limx→0 (e−0,5x − 1 + 0,5x)/x².
Sia f(x) = (4x − 1)3. Trova f′(−1).
La retta tangente a f(x) = 0,5x2 − 5x − 3 in x = 3 interseca l'asse y in y = b. Trova b.
Un lotto rettangolare di 300 m² è recintato su tutti e quattro i lati. Il lato lungo la strada, di lunghezza x, costa €15 al metro; gli altri tre lati costano €10 al metro. Trova il costo totale minimo C.
Un’azienda vende q unità alla settimana. Il prezzo a cui può venderle è p = 170 − 1q euro per unità, e il costo è C(q) = 400 + 115q euro. Trova la produzione settimanale q che massimizza il profitto.
La regione sotto y = 0,5x da x = 0 a x = 2 viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido (un cono).
Trova l'area A della regione delimitata da y = 2x2 e y = 2x.
Risposta: L = 20,09
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
ln(1 + u)/u → 1 per u → 0, quindi x·ln(1 + a/x) → a.
Risposta: L = 0,125
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: f′(−1) = 300
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: b = −7,5
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: C = 774,6 €
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
C″(x) = 12000/x³ > 0, quindi è un minimo.
Risposta: q = 27,5 unità
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
P″(q) = −2 < 0, quindi è un massimo.
Risposta: V = 2,094
Volumi di rotazione: ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = f(x) da x = a a x = b si ottiene un solido la cui sezione in x è un disco di raggio f(x). Sommando i dischi si ha V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando la regione sta tra una curva esterna R(x) e una interna r(x), ogni fetta è una rondella: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva al quadrato i raggi prima di sottrarli.
Verifica: un cono di raggio 1 e altezza 2 ha (1/3)πr²h = 2,094.
Risposta: A = 0,3333
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
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