Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Calcola il limite L = limx→∞ (−2x3 + x − 4)/(2x3 + 6x + 8).
Calcola il limite L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(2x), con x in radianti.
Sia f(x) = x2·e−0,5x. Trova f′(1).
La retta tangente a f(x) = 2x2 + x − 5 in x = 1 interseca l'asse y in y = b. Trova b.
Una lattina cilindrica chiusa (con coperchio e fondo) deve contenere 400 cm³. Il metallo usato è proporzionale alla superficie totale. Trova il raggio r che usa meno materiale.
Una piccola impresa vende il suo prodotto a un prezzo di mercato fisso di €50 per unità. Produrre q unità costa C(q) = 1200 + 28q + 0,05q² euro. Trova il profitto massimo P.
Calcola I = ∫₁1,5 x·ln x dx.
Calcola I = ∫₀3 x²·eˣ dx.
Risposta: L = −1
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
A gradi uguali il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi.
Risposta: L = 2,5
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: f′(1) = 0,9098
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: b = −7
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: r = 3,993 cm
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, quindi è un minimo.
La lattina chiusa più economica è alta quanto è larga: h = 2r.
Risposta: P = 1220 €
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
P″(q) = −0,1 < 0, quindi è un massimo.
Risposta: I = 0,1436
Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.
Risposta: I = 98,43
Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.
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