Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Calcola il limite L = limx→∞ (1 − 1/x)2x. Dai un valore decimale.
Calcola il limite L = limx→0 ln(1 + x)/sin(2x), con x in radianti.
Sia f(x) = ln(3x2 + 1). Trova f′(−2).
La retta tangente a f(x) = 3x2 + 4x + 1 in x = −2 interseca l'asse y in y = b. Trova b.
Una scatola aperta (senza coperchio) a base quadrata deve contenere 500 cm³. Usa il minor materiale possibile, cioè la minima area della base più i quattro lati. Trova l’altezza h.
Una piccola impresa vende il suo prodotto a un prezzo di mercato fisso di €30 per unità. Produrre q unità costa C(q) = 400 + 6q + 0,1q² euro. Trova la produzione q che massimizza il profitto.
La regione sotto y = 0,5x da x = 0 a x = 4 viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido (un cono).
La regione tra la retta y = 4x e la parabola y = 3x² viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido.
Risposta: L = 0,1353
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
ln(1 + u)/u → 1 per u → 0, quindi x·ln(1 + a/x) → a.
Risposta: L = 0,5
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: f′(−2) = −0,9231
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: b = −11
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: h = 5 cm
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, quindi è un minimo.
La scatola aperta migliore è alta la metà di quanto è larga.
Risposta: q = 120 unità
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
P″(q) = −0,2 < 0, quindi è un massimo.
Risposta: V = 16,76
Volumi di rotazione: ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = f(x) da x = a a x = b si ottiene un solido la cui sezione in x è un disco di raggio f(x). Sommando i dischi si ha V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando la regione sta tra una curva esterna R(x) e una interna r(x), ogni fetta è una rondella: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva al quadrato i raggi prima di sottrarli.
Verifica: un cono di raggio 2 e altezza 4 ha (1/3)πr²h = 16,76.
Risposta: V = 15,89
Volumi di rotazione: ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = f(x) da x = a a x = b si ottiene un solido la cui sezione in x è un disco di raggio f(x). Sommando i dischi si ha V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando la regione sta tra una curva esterna R(x) e una interna r(x), ogni fetta è una rondella: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva al quadrato i raggi prima di sottrarli.
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