Analisi 2: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Successioni e serie

Successione aritmetica: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio di Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodo

Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Calcolo multivariabile

Derivate parziali: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivata direzionale: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test delle derivate seconde: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordinate polari: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodo

Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (f_x, f_y) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0, poi classifica ogni punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Esercizi

1.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

2.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione tra la parabola y = 9 − x² e l'asse x.

y = 9 − x²

A =

3.Successioni e serieMedia

La serie di potenze Σ_k=1^∞ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏ converge in un intervallo attorno a x₀ = 2. Trova l’estremo destro x di quell’intervallo.

Σ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏx₀ = 2

x =

4.Successioni e serieDifficile

f(x) = cos x è approssimata dal suo polinomio di Maclaurin di grado 4 in x = 0,8. Usa la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = 1 per trovare il massimo errore possibile |R₄|.

f(x) = cos xn = 4x = 0,8M = 1

|R₄| =

5.Calcolo multivariabileMedia

Per f(x, y) = 4xy − 4x³ + 4y², trova la direzione di massima crescita in (−2, 3) come angolo θ dall’asse x positivo, in gradi tra −180° e 180°.

f(x, y) = 4xy − 4x³ + 4y²P = (−2, 3)

θ = °

6.Calcolo multivariabileDifficile

Usa le coordinate polari per calcolare I = ∬_R y dA, dove R è la metà superiore del disco x² + y² ≤ 9 (y ≥ 0).

f = y0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π

I =

7.Equazioni differenzialiMedia

Un pezzo d’acciaio forgiato a 400 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 21 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,03 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 49 min.

T₀ = 400 °CT_a = 21 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 49 min

T = °C

8.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + 3y/x = 4x² per x > 0, con y(1) = 2. Trova y(3).

y′ + 3y/x = 4x²y(1) = 2

y(3) =

3Soluzioni

1.Integrali

Risposta: I = 156

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Sostituzione

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Integra e valuta

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Risposta

I = 156

2.Integrali

Risposta: A = 36

Zeri

9 − x² = 0 → x = ±3

Integra

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Risposta

A = 36

3.Successioni e serie

Risposta: x = 4,718

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Coefficienti

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

Raggio

R = 2,718

Intervallo

−0,7183 < x < 4,718

x = 4,718

Risposta

x = 4,718

Il criterio del rapporto non dice nulla nei due estremi; vanno verificati separatamente.

4.Successioni e serie

Risposta: |R₄| = 0,002731

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

Maggiorazione della derivata

M = 1

Maggiorazione di Lagrange

|R₄| ≤ 1·0,8⁵/5! = 0,002731

Risposta

|R₄| = 0,002731

L’errore vero è minore: |f(0,8) − P₄(0,8)| = 0,00036.

5.Calcolo multivariabile

Risposta: θ = 156 °

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è D_uf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Derivate parziali

f_x = 4y − 12x² → f_x(−2, 3) = −36

f_y = 4x + 8y → f_y(−2, 3) = 16

Direzione

θ = atan2(16, −36) = 156°

Risposta

θ = 156°

6.Calcolo multivariabile

Risposta: I = 18

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha f_x = f_y = 0. Test delle derivate seconde con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo locale, D > 0 e f_xx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Forma polare

I = ∫₀^π ∫₀³ r sin θ·r dr dθ

Integra

∫ r²dr·∫ sin θ dθ

I = 18

Risposta

I = 18

7.Equazioni differenziali

Risposta: T = 108,1 °C

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Soluzione della legge di raffreddamento

T(t) = 21 + 379·e^−0,03t

Sostituisci t

T(49) = 21 + 379·0,2299 = 108,1 °C

Risposta

T = 108,1 °C

8.Equazioni differenziali

Risposta: y(3) = 18,05

Fattore integrante

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integra

(x³y)′ = 4x⁵ → x³y = 4x⁶/6 + C

Condizione iniziale

2 = 4/6 + C → C = 1,333

Calcola

y(3) = (4·3⁶/6 + 1,333)/3³ = 18,05

Risposta

y(3) = 18,05

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