Analisi 2: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Successioni e serie

Successione aritmetica: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio di Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodo

Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Calcolo multivariabile

Derivate parziali: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivata direzionale: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test delle derivate seconde: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordinate polari: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodo

Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (f_x, f_y) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0, poi classifica ogni punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Esercizi

1.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

2.IntegraliDifficile

Calcola I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

3.Successioni e serieMedia

Trova il raggio di convergenza R della serie di potenze Σ_k=1^∞ (x − 2)ᵏ/(k·5ᵏ).

Σ (x − 2)ᵏ/(k·5ᵏ)x₀ = 2

R =

4.Successioni e serieDifficile

f(x) = sin x è approssimata dal suo polinomio di Maclaurin di grado 2 in x = 0,8. Usa la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = 1 per trovare il massimo errore possibile |R₂|.

f(x) = sin xn = 2x = 0,8M = 1

|R₂| =

5.Calcolo multivariabileMedia

Il piano tangente a z = 4xy² − 5x² + y² − xy nel punto in cui (x, y) = (−1, 1) si può scrivere come z = px + qy + c. Trova c.

f(x, y) = 4xy² − 5x² + y² − xy(a, b) = (−1, 1)

c =

6.Calcolo multivariabileDifficile

I punti segnati sono i punti critici di f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy. Clicca il punto di sella.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy

1A (0, 0)
2B (−2, −2)
3C (2, 2)

7.Equazioni differenzialiMedia

Una tazza di caffè a 85 °C viene lasciata in una stanza a 24 °C. Dopo 24 min la sua temperatura è 27 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.

T₀ = 85 °CT_a = 24 °CT(24) = 27 °C

k = min⁻¹

8.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + y/x = 3x per x > 0, con y(1) = −3. Trova y(2).

y′ + y/x = 3xy(1) = −3

y(2) =

3Soluzioni

1.Integrali

Risposta: I = 14,12

Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.

Scegli u e dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Primitiva

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limiti

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

Risposta

I = 14,12

2.Integrali

Risposta: I = 12,78

Primo passaggio

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Secondo passaggio

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limiti

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Risposta

I = 12,78

3.Successioni e serie

Risposta: R = 5

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Coefficienti

c_k/c_k+1 = 5·((k + 1)/k) → 5

Raggio

R = 5

Risposta

R = 5

Il criterio del rapporto non dice nulla nei due estremi; vanno verificati separatamente.

4.Successioni e serie

Risposta: |R₂| = 0,08533

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

Maggiorazione della derivata

M = 1

Maggiorazione di Lagrange

|R₂| ≤ 1·0,8³/3! = 0,08533

Risposta

|R₂| = 0,08533

L’errore vero è minore: |f(0,8) − P₂(0,8)| = 0,08264.

5.Calcolo multivariabile

Risposta: c = 11

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è D_uf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Valore e pendenze nel punto

f(−1, 1) = −7

f_x = 4y² − 10x − y → f_x(−1, 1) = 13

f_y = 8xy + 2y − x → f_y(−1, 1) = −5

Piano tangente

z = −7 + 13(x + 1) − 5(y − 1)

z = 13x − 5y + 11

Termine costante

c = 11

Risposta

c = 11

6.Calcolo multivariabile

Risposta: A (0, 0)

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha f_x = f_y = 0. Test delle derivate seconde con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo locale, D > 0 e f_xx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Punti critici

Risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0.

f_x = 4x³ − 16y = 0

f_y = 4y³ − 16x = 0

(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

Test delle derivate seconde

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −16, D = −256 → punto di sella

(2, 2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → minimo locale

(−2, −2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → minimo locale

Il punto

A (0, 0): punto di sella

Risposta

A (0, 0)

7.Equazioni differenziali

Risposta: k = 0,1255 min⁻¹

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Rapporto delle differenze di temperatura

e^−24k = 3/61

Risolvi per k

k = ln(61/3)/24 = 0,1255 min⁻¹

Risposta

k = 0,1255 min⁻¹

8.Equazioni differenziali

Risposta: y(2) = 2

Fattore integrante

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integra

(x¹y)′ = 3x² → x¹y = 3x³/3 + C

Condizione iniziale

−3 = 3/3 + C → C = −4

Calcola

y(2) = (3·2³/3 + (−4))/2¹ = 2

Risposta

y(2) = 2

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