Analisi 2: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Successioni e serie

Successione aritmetica: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio di Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodo

Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Calcolo multivariabile

Derivate parziali: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivata direzionale: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test delle derivate seconde: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordinate polari: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodo

Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (f_x, f_y) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0, poi classifica ogni punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Esercizi

1.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀² e^x dx.

f(x) = e^x[0, 2]

I =

2.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione tra la parabola y = 1 − x² e l'asse x.

y = 1 − x²

A =

3.Successioni e serieMedia

Trova la somma S = Σ_k=1^∞ 6/(k(k + 2)).

a_k = 6/(k(k + 2))

S =

4.Successioni e serieDifficile

f(x) = ln(1 + x) è approssimata dal suo polinomio di Maclaurin di grado 3 in x = 0,1. Usa la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = 3! = 6 per trovare il massimo errore possibile |R₃|.

f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0,1M = 6

|R₃| =

5.Calcolo multivariabileMedia

z = 4x²y² − 5x³ − xy con x = −3t − 1 e y = 2t² − 1. Usa la regola della catena per trovare dz/dt in t = −1.

z = 4x²y² − 5x³ − xyx = −3t − 1y = 2t² − 1t = −1

dz/dt =

6.Calcolo multivariabileDifficile

L’integrale I = ∫₀^0,8 ∫_y^0,8 sin(x²) dx dy non si può calcolare in questo ordine. Inverti l’ordine di integrazione e calcolalo.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8

I =

7.Equazioni differenzialiMedia

Una lattina di bibita a 6 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 22 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,07 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 29 min.

T₀ = 6 °CT_a = 22 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 29 min

T = °C

8.Equazioni differenzialiDifficile

Un serbatoio contiene 100 L di acqua pura. Una salamoia con 0,05 kg di sale per litro entra a 4 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Quanto sale m c’è nel serbatoio dopo 25 min?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3Soluzioni

1.Integrali

Risposta: I = 6,389

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Primitiva

F(x) = e^x/1

Valuta agli estremi

I = (e² − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Risposta

I = 6,389

2.Integrali

Risposta: A = 1,333

Zeri

1 − x² = 0 → x = ±1

Integra

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Risposta

A = 1,333

3.Successioni e serie

Risposta: S = 4,5

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Fratti semplici

6/(k(k + 2)) = (6/2)·(1/k − 1/(k + 2))

Annulla

S = (6/2)·(1 + 1/2) = 4,5

Risposta

S = 4,5

4.Successioni e serie

Risposta: |R₃| = 2,5 × 10⁻⁵

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

Maggiorazione della derivata

M = 3! = 6

Maggiorazione di Lagrange

|R₃| ≤ 6·0,1⁴/4! = 2,5 × 10⁻⁵

Risposta

|R₃| = 2,5 × 10⁻⁵

L’errore vero è minore: |f(0,1) − P₃(0,1)| = 2,315 × 10⁻⁵.

5.Calcolo multivariabile

Risposta: dz/dt = 15

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è D_uf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Punto e velocità di variazione

x(−1) = 2, y(−1) = 1

dx/dt = −3, dy/dt = 4t = −4

Derivate parziali

f_x = 8xy² − 15x² − y = −45

f_y = 8x²y − x = 30

Regola della catena

dz/dt = (−45)·(−3) + 30·(−4) = 15

Risposta

dz/dt = 15

6.Calcolo multivariabile

Risposta: I = 0,09895

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha f_x = f_y = 0. Test delle derivate seconde con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo locale, D > 0 e f_xx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Regione

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 0,8

Ordine invertito

I = ∫₀^0,8 ∫₀^x sin(x²) dy dx = ∫₀^0,8 x·sin(x²) dx

Sostituzione u = x²

I = [−cos(x²)/2]₀^0,8 = 0,09895

Risposta

I = 0,09895

7.Equazioni differenziali

Risposta: T = 19,9 °C

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Soluzione della legge di raffreddamento

T(t) = 22 + (−16)·e^−0,07t

Sostituisci t

T(29) = 22 + (−16)·0,1313 = 19,9 °C

Risposta

T = 19,9 °C

8.Equazioni differenziali

Risposta: m = 3,161 kg

Imposta l’equazione

dm/dt = 4·0,05 − (4/100)·m = 0,2 − 0,04·m

Risolvi

Il fattore integrante è e^rt/V; la soluzione tende all’equilibrio c·V.

m(t) = 5 + (−5)·e^−t/25

Sostituisci t

m(25) = 5 + (−5)·0,3679 = 3,161 kg

Risposta

m = 3,161 kg

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