Analisi 2: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Successioni e serie

Successione aritmetica: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio di Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodo

Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Calcolo multivariabile

Derivate parziali: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivata direzionale: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test delle derivate seconde: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordinate polari: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodo

Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (f_x, f_y) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0, poi classifica ogni punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Esercizi

1.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₂⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

2.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione tra la parabola y = 4 − x² e l'asse x.

y = 4 − x²

A =

3.Successioni e serieMedia

Applica il criterio della radice a Σ_k=1^∞ ((2k + 3)/(3k + 5))ᵏ. Trova L = lim |a_k|^1/k.

a_k = ((2k + 3)/(3k + 5))ᵏ

L =

4.Successioni e serieDifficile

f(x) = eˣ è approssimata dal suo polinomio di Maclaurin di grado 2 in x = 0,3. Usa la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = e^0,3 = 1,35 per trovare il massimo errore possibile |R₂|.

f(x) = eˣn = 2x = 0,3M = 1,35

|R₂| =

5.Calcolo multivariabileMedia

z = −4x²y − x³ − 2y³ con x = 2t − 2 e y = −2t² − 2. Usa la regola della catena per trovare dz/dt in t = −1.

z = −4x²y − x³ − 2y³x = 2t − 2y = −2t² − 2t = −1

dz/dt =

6.Calcolo multivariabileDifficile

Trova i punti critici di f(x, y) = x³ + y³ − 6xy, classificali e dai il valore f_min di f nel suo minimo locale.

f(x, y) = x³ + y³ − 6xy

f_min =

7.Equazioni differenzialiMedia

Risolvi y″ + 7y′ + 12y = 0 con y(0) = 2 e y′(0) = 6. Trova y(1,5).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 6

y(1.5) =

8.Equazioni differenzialiDifficile

Un sistema obbedisce a y″ + y′ + 9,25y = 18,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco y_max della sua risposta al gradino.

y″ + y′ + 9,25y = 18,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3Soluzioni

1.Integrali

Risposta: I = 2,079

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Primitiva

F(x) = 3·ln x

Valuta agli estremi

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

Risposta

I = 2,079

2.Integrali

Risposta: A = 10,67

Zeri

4 − x² = 0 → x = ±2

Integra

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Risposta

A = 10,67

3.Successioni e serie

Risposta: L = 0,6667

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Radice dei termini

|a_k|^1/k = (2k + 3)/(3k + 5) → 2/3

Conclusione

L = 0,6667 < 1

Risposta

L = 0,6667

L < 1, quindi la serie converge.

4.Successioni e serie

Risposta: |R₂| = 0,006074

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

Maggiorazione della derivata

M = e^0,3 = 1,35

Maggiorazione di Lagrange

|R₂| ≤ 1,35·0,3³/3! = 0,006074

Risposta

|R₂| = 0,006074

L’errore vero è minore: |f(0,3) − P₂(0,3)| = 0,004859.

5.Calcolo multivariabile

Risposta: dz/dt = −992

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è D_uf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Punto e velocità di variazione

x(−1) = −4, y(−1) = −4

dx/dt = 2, dy/dt = −4t = 4

Derivate parziali

f_x = −8xy − 3x² = −176

f_y = −4x² − 6y² = −160

Regola della catena

dz/dt = (−176)·2 + (−160)·4 = −992

Risposta

dz/dt = −992

6.Calcolo multivariabile

Risposta: f_min = −8

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha f_x = f_y = 0. Test delle derivate seconde con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo locale, D > 0 e f_xx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Punti critici

Risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0.

f_x = 3x² − 6y = 0

f_y = 3y² − 6x = 0

(0, 0), (2, 2)

Test delle derivate seconde

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −6, D = −36 → punto di sella

(2, 2): f_xx = 12, f_yy = 12, f_xy = −6, D = 108 → minimo locale

Valore nell’estremo

f(2, 2) = −8

Risposta

f_min = −8

7.Equazioni differenziali

Risposta: y(1.5) = 0,1258

Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = e^rt: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·e^rt (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.

Radici caratteristiche

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Costanti dai valori iniziali

A + B = 2, −3A − 4B = 6

A = 14, B = −12

Calcola

y(1,5) = 14·e^−4,5 + (−12)·e⁻⁶ = 0,1258

Risposta

y(1,5) = 0,1258

8.Equazioni differenziali

Risposta: y_max = 3,185

Valore a regime e radici

y_ss = 2, r = −0,5 ± 3j

Costanti dai valori iniziali

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0,5A + 3B = 0 → B = −0,3333

Picco

t = π/3 = 1,047

y_max = 2·(1 + e^−0,5·π/3) = 3,185

Risposta

y_max = 3,185

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