Analisi 2: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Successioni e serie

Successione aritmetica: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio di Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodo

Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Calcolo multivariabile

Derivate parziali: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivata direzionale: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test delle derivate seconde: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordinate polari: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodo

Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (f_x, f_y) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0, poi classifica ogni punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Esercizi

1.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

2.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione delimitata da y = x² e y = x.

y = x²y = x

A =

3.Successioni e serieMedia

Trova la somma S = Σ_k=1³³ 5/(k(k + 1)).

a_k = 5/(k(k + 1))n = 33

S =

4.Successioni e serieDifficile

f(x) = eˣ è approssimata in x = 1 dal suo polinomio di Maclaurin di grado n. Con la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! e M = 3, trova il grado minimo n che garantisce un errore inferiore a 0,0001.

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 0,0001

n =

5.Calcolo multivariabileMedia

Per f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²), trova la massima velocità di variazione di f nel punto (−1, −1), cioè |∇f|.

f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²)P = (−1, −1)

|∇f| =

6.Calcolo multivariabileDifficile

Calcola I = ∬_R x dA, dove R è la regione compresa tra la parabola y = x² e la retta y = 4x.

y = x²y = 4xf = x

I =

7.Equazioni differenzialiMedia

Una lattina di bibita a 6 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 23 °C. Dopo 28 min la sua temperatura è 19 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 23 °CT(28) = 19 °C

k = min⁻¹

8.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi y′ + y = 6e^−2t con y(0) = 4. Trova y(1,5).

y′ + y = 6e^−2ty(0) = 4

y(1.5) =

3Soluzioni

1.Integrali

Risposta: I = 2,333

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Sostituzione

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Integra e valuta

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Risposta

I = 2,333

2.Integrali

Risposta: A = 0,1667

Punti di intersezione

x² = x → x = 0, x = 1

Integra superiore meno inferiore

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Risposta

A = 0,1667

3.Successioni e serie

Risposta: S = 4,853

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Fratti semplici

5/(k(k + 1)) = 5·(1/k − 1/(k + 1))

Annulla

S = 5·(1 − 1/34) = 4,853

Risposta

S = 4,853

4.Successioni e serie

Risposta: n = 7

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

Maggiorazioni al crescere di n

n = 6: 0,0005952 ≥ 0,0001

n = 7: 7,44 × 10⁻⁵ < 0,0001

Grado minimo

n = 7

Risposta

n = 7

5.Calcolo multivariabile

Risposta: |∇f| = 2,981

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è D_uf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Derivate parziali

f_x = 4x/(x² + 2y²) → f_x(−1, −1) = −1,333

f_y = 8y/(x² + 2y²) → f_y(−1, −1) = −2,667

Lunghezza del gradiente

|∇f| = √((−1,333)² + (−2,667)²) = 2,981

Risposta

|∇f| = 2,981

6.Calcolo multivariabile

Risposta: I = 21,33

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha f_x = f_y = 0. Test delle derivate seconde con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo locale, D > 0 e f_xx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Intersezioni

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integrale interno

∫_x²^4x x dy = x(4x − x²) = 4x² − x³

Integrale esterno

I = ∫₀⁴ (4x² − x³) dx = 21,33

Risposta

I = 21,33

7.Equazioni differenziali

Risposta: k = 0,05168 min⁻¹

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Rapporto delle differenze di temperatura

e^−28k = -4/-17

Risolvi per k

k = ln(-17/-4)/28 = 0,05168 min⁻¹

Risposta

k = 0,05168 min⁻¹

8.Equazioni differenziali

Risposta: y(1.5) = 1,933

Fattore integrante

μ = e^t

(e^ty)′ = 6e^−t

Soluzione generale

y = 6/(−1)·e^−2t + C·e^−t = −6·e^−2t + C·e^−t

Condizione iniziale

4 = −6 + C → C = 10

Calcola

y(1,5) = −6·0,04979 + 10·0,2231 = 1,933

Risposta

y(1,5) = 1,933

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