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1Formule e metodi
Integrali
Regola della potenza
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve
∫ab (f − g) dx
Metodo
Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per ex, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Calcolo multivariabile
Derivate parziali
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivata direzionale
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regola della catena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test delle derivate seconde
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordinate polari
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodo
Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (fx, fy) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme fx = 0 e fy = 0, poi classifica ogni punto con D = fxx·fyy − fxy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.IntegraliMedia
Calcola I = ∫28 5/x dx.
f(x) = 5/x[2, 8]
I =
2.IntegraliDifficile
Trova l'area A della regione tra la parabola y = 4 − x² e l'asse x.
y = 4 − x²
A =
3.Successioni e serieMedia
Esattamente una delle quattro serie diverge. Cliccala.
A: Σ (−1)ᵏ/√kB: Σ 1/(k² + 5)C: Σ 1/k⁴D: Σ (3/2)ᵏ
1A: Σ (−1)ᵏ/√k
2B: Σ 1/(k² + 5)
3C: Σ 1/k⁴
4D: Σ (3/2)ᵏ
4.Successioni e serieDifficile
Riconosci la serie e trova la sua somma: S = Σk=0∞ (−2)ᵏ/k!.
ak = (−2)ᵏ/k!
S =
5.Calcolo multivariabileMedia
Usa il piano tangente di f(x, y) = −3x²y³ + 5x³ + 2y³ + 3xy in (1, 2) per approssimare f(1,2, 1,8). Dai l’approssimazione lineare L.
I punti segnati sono i punti critici di f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy. Clicca il punto di sella.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
1A (0, 0)
2B (−1, −1)
3C (1, 1)
7.Equazioni differenzialiMedia
Risolvi y″ + 2y′ + y = 0 con y(0) = 2 e y′(0) = 1. Trova y(1,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = 1
y(1.5) =
8.Equazioni differenzialiDifficile
Un sistema obbedisce a y″ + y′ + 4,25y = 42,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco ymax della sua risposta al gradino.
y″ + y′ + 4,25y = 42,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Soluzioni
1.Integrali
Risposta: I = 6,931
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Primitiva
F(x) = 5·ln x
Valuta agli estremi
I = 5·(ln 8 − ln 2) = 5·ln 4 = 6,931
Risposta
I = 6,931
2.Integrali
Risposta: A = 10,67
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Zeri
4 − x² = 0 → x = ±2
Integra
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Risposta
A = 10,67
3.Successioni e serie
Risposta: D: Σ (3/2)ᵏ
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Verifica ogni serie
A: Σ (−1)ᵏ/√k → A segni alterni, con 1/√k decrescente a 0: converge (condizionatamente).
B: Σ 1/(k² + 5) → Minore di 1/k², una serie armonica generalizzata convergente: converge per confronto.
C: Σ 1/k⁴ → Serie armonica generalizzata con p = 4 > 1: converge.
D: Σ (3/2)ᵏ → Geometrica con r = 3/2 > 1: i termini crescono, quindi diverge.
La risposta
D: Σ (3/2)ᵏ
Risposta
D: Σ (3/2)ᵏ
4.Successioni e serie
Risposta: S = 0,1353
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Serie notevoli
Σ xᵏ/k! = eˣ
Sostituisci
x = −2
S = e−2 = 0,1353
Risposta
S = 0,1353
5.Calcolo multivariabile
Risposta: L = −0,6
Gradiente: ∇f = (fx, fy) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è Duf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Valore e pendenze nel punto
f(1, 2) = 3
fx = −6xy³ + 15x² + 3y → fx(1, 2) = −27
fy = −9x²y² + 6y² + 3x → fy(1, 2) = −9
Piano tangente
z = 3 − 27(x − 1) − 9(y − 2)
z = −27x − 9y + 48
Approssimazione lineare
L = 3 + (−27)·0,2 + (−9)·(−0,2) = −0,6
Risposta
L = −0,6
Il valore esatto è f = 1,58976; il piano è vicino perché l’incremento è piccolo.
6.Calcolo multivariabile
Risposta: A (0, 0)
Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha fx = fy = 0. Test delle derivate seconde con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 e fxx > 0 è un minimo locale, D > 0 e fxx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).
Punti critici
Risolvi insieme fx = 0 e fy = 0.
fx = 4x³ − 4y = 0
fy = 4y³ − 4x = 0
(0, 0), (1, 1), (−1, −1)
Test delle derivate seconde
(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −4, D = −16 → punto di sella
Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = ert: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·er₁t + B·er₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·ert (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.
Radice doppia
(r + 1)² = 0 → r = −1
Costanti
A = y(0) = 2
y′(0) = B − 1A → B = 1 + 2 = 3
Calcola
y(1,5) = (2 + 3·1,5)·e−1,5 = 1,45
Risposta
y(1,5) = 1,45
8.Equazioni differenziali
Risposta: ymax = 14,56
Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = ert: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·er₁t + B·er₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·ert (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.