Analisi 2: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Successioni e serie

Successione aritmetica: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio di Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodo

Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Calcolo multivariabile

Derivate parziali: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivata direzionale: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test delle derivate seconde: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordinate polari: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodo

Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (f_x, f_y) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0, poi classifica ogni punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Esercizi

1.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀¹ x·sin x dx (x in radianti).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

2.IntegraliDifficile

Calcola I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

3.Successioni e serieMedia

Esattamente una delle quattro serie converge. Cliccala.

A: Σ ln k / kB: Σ (1 + 1/k)ᵏC: Σ k²/3ᵏD: Σ k!/3ᵏ

1A: Σ ln k / k
2B: Σ (1 + 1/k)ᵏ
3C: Σ k²/3ᵏ
4D: Σ k!/3ᵏ

4.Successioni e serieDifficile

Trova il coefficiente c₂ di (x + 1)² nella serie di Taylor di f(x) = e^−x attorno ad a = −1.

f(x) = e^−xa = −1k = 2

c₂ =

5.Calcolo multivariabileMedia

z = −4xy³ − x² + 5y³ − 3xy con x = 2t − 1 e y = t² − 1. Usa la regola della catena per trovare dz/dt in t = 2.

z = −4xy³ − x² + 5y³ − 3xyx = 2t − 1y = t² − 1t = 2

dz/dt =

6.Calcolo multivariabileDifficile

I punti segnati sono i punti critici di f(x, y) = x³ − 12x + y² + 2y. Clicca il punto di sella.

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 2y

1A (−2, −1)
2B (2, −1)

7.Equazioni differenzialiMedia

Un pezzo d’acciaio forgiato a 320 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 24 °C. Dopo 50 min la sua temperatura è 204 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.

T₀ = 320 °CT_a = 24 °CT(50) = 204 °C

k = min⁻¹

8.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + 2y/x = 5 per x > 0, con y(1) = 0. Trova y(3).

y′ + 2y/x = 5y(1) = 0

y(3) =

3Soluzioni

1.Integrali

Risposta: I = 0,3012

Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.

Scegli u e dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitiva

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limiti

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Risposta

I = 0,3012

2.Integrali

Risposta: I = 3,602

Primo passaggio

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Secondo passaggio

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limiti

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Risposta

I = 3,602

3.Successioni e serie

Risposta: C: Σ k²/3ᵏ

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Verifica ogni serie

A: Σ ln k / k → Maggiore di 1/k per k ≥ 3: diverge per confronto con la serie armonica.

B: Σ (1 + 1/k)ᵏ → I termini tendono a e, non a 0: diverge per il criterio del termine n-esimo.

C: Σ k²/3ᵏ → Criterio del rapporto: L = 1/3 < 1, converge.

D: Σ k!/3ᵏ → Criterio del rapporto: L = lim (k + 1)/3 = ∞, diverge.

La risposta

C: Σ k²/3ᵏ

Risposta

C: Σ k²/3ᵏ

4.Successioni e serie

Risposta: c₂ = 1,359

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

Derivata f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = (−1)²·e^−x

Coefficiente

c₂ = (−1)²·e¹/2! = 1,359

c₂ = 1,359

Risposta

c₂ = 1,359

5.Calcolo multivariabile

Risposta: dz/dt = −1038

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è D_uf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Punto e velocità di variazione

x(2) = 3, y(2) = 3

dx/dt = 2, dy/dt = 2t = 4

Derivate parziali

f_x = −4y³ − 2x − 3y = −123

f_y = −12xy² + 15y² − 3x = −198

Regola della catena

dz/dt = (−123)·2 + (−198)·4 = −1038

Risposta

dz/dt = −1038

6.Calcolo multivariabile

Risposta: A (−2, −1)

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha f_x = f_y = 0. Test delle derivate seconde con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo locale, D > 0 e f_xx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Punti critici

Risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0.

f_x = (3x² − 12) = 0

f_y = (2y + 2) = 0

(2, −1), (−2, −1)

Test delle derivate seconde

(2, −1): f_xx = 12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 24 → minimo locale

(−2, −1): f_xx = −12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −24 → punto di sella

Il punto

A (−2, −1): punto di sella

Risposta

A (−2, −1)

7.Equazioni differenziali

Risposta: k = 0,009948 min⁻¹

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Rapporto delle differenze di temperatura

e^−50k = 180/296

Risolvi per k

k = ln(296/180)/50 = 0,009948 min⁻¹

Risposta

k = 0,009948 min⁻¹

8.Equazioni differenziali

Risposta: y(3) = 4,815

Fattore integrante

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integra

(x²y)′ = 5x² → x²y = 5x³/3 + C

Condizione iniziale

0 = 5/3 + C → C = −1,667

Calcola

y(3) = (5·3³/3 + (−1,667))/3² = 4,815

Risposta

y(3) = 4,815

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2