Analisi 2: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Successioni e serie

Successione aritmetica: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio di Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodo

Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Calcolo multivariabile

Derivate parziali: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivata direzionale: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test delle derivate seconde: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordinate polari: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodo

Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (f_x, f_y) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0, poi classifica ogni punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Esercizi

1.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

2.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione tra la parabola y = 9 − x² e l'asse x.

y = 9 − x²

A =

3.Successioni e serieMedia

La serie di potenze Σ_k=1^∞ k·3ᵏ·(x + 1)ᵏ converge in un intervallo attorno a x₀ = −1. Trova l’estremo sinistro x di quell’intervallo.

Σ k·3ᵏ·(x + 1)ᵏx₀ = −1

x =

4.Successioni e serieDifficile

Trova il coefficiente c₂ di (x − 4)² nella serie di Taylor di f(x) = ln x attorno ad a = 4.

f(x) = ln xa = 4k = 2

c₂ =

5.Calcolo multivariabileMedia

z = −2x²y − 2x² + 3y² con x = −3t e y = −2t² − 2. Usa la regola della catena per trovare dz/dt in t = 1.

z = −2x²y − 2x² + 3y²x = −3ty = −2t² − 2t = 1

dz/dt =

6.Calcolo multivariabileDifficile

Usa le coordinate polari per calcolare I = ∬_R (x² + y²) dA, dove R è la corona circolare 0,25 ≤ x² + y² ≤ 2,25.

f = x² + y²0,5 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ 2π

I =

7.Equazioni differenzialiMedia

Risolvi y″ + 8y′ + 16y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = -1. Trova y(1,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = -1

y(1.5) =

8.Equazioni differenzialiDifficile

Un sistema obbedisce a y″ + 3y′ + 18,25y = 36,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco y_max della sua risposta al gradino.

y″ + 3y′ + 18,25y = 36,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3Soluzioni

1.Integrali

Risposta: I = 156

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Sostituzione

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Integra e valuta

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Risposta

I = 156

2.Integrali

Risposta: A = 36

Zeri

9 − x² = 0 → x = ±3

Integra

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Risposta

A = 36

3.Successioni e serie

Risposta: x = −1,333

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Coefficienti

c_k/c_k+1 = (1/3)·(k/(k + 1)) → 1/3

Raggio

R = 0,3333

Intervallo

−1,333 < x < −0,6667

x = −1,333

Risposta

x = −1,333

Il criterio del rapporto non dice nulla nei due estremi; vanno verificati separatamente.

4.Successioni e serie

Risposta: c₂ = −0,03125

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

Derivata f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −1/x²

Coefficiente

c₂ = f⁽²⁾(4)/2! = −1/(4²·2) = −0,03125

c₂ = −0,03125

Risposta

c₂ = −0,03125

5.Calcolo multivariabile

Risposta: dz/dt = 276

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è D_uf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Punto e velocità di variazione

x(1) = −3, y(1) = −4

dx/dt = −3, dy/dt = −4t = −4

Derivate parziali

f_x = −4xy − 4x = −36

f_y = −2x² + 6y = −42

Regola della catena

dz/dt = (−36)·(−3) + (−42)·(−4) = 276

Risposta

dz/dt = 276

6.Calcolo multivariabile

Risposta: I = 7,854

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha f_x = f_y = 0. Test delle derivate seconde con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo locale, D > 0 e f_xx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Forma polare

I = ∫₀^2π ∫_0,5^1,5 r²·r dr dθ

Integra

∫ r²·r dr = [r⁴/4]

I = 7,854

Risposta

I = 7,854

7.Equazioni differenziali

Risposta: y(1.5) = 0,04834

Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = e^rt: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·e^rt (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.

Radice doppia

(r + 4)² = 0 → r = −4

Costanti

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = -1 + 12 = 11

Calcola

y(1,5) = (3 + 11·1,5)·e⁻⁶ = 0,04834

Risposta

y(1,5) = 0,04834

8.Equazioni differenziali

Risposta: y_max = 2,616

Valore a regime e radici

y_ss = 2, r = −1,5 ± 4j

Costanti dai valori iniziali

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1,5A + 4B = 0 → B = −0,75

Picco

t = π/4 = 0,7854

y_max = 2·(1 + e^−1,5·π/4) = 2,616

Risposta

y_max = 2,616

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