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1Formule e metodi
Integrali
Regola della potenza
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve
∫ab (f − g) dx
Metodo
Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per ex, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Calcolo multivariabile
Derivate parziali
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivata direzionale
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regola della catena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test delle derivate seconde
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordinate polari
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodo
Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (fx, fy) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme fx = 0 e fy = 0, poi classifica ogni punto con D = fxx·fyy − fxy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.IntegraliMedia
Calcola I = ∫01 e−x dx.
f(x) = e−x[0, 1]
I =
2.IntegraliDifficile
Trova l'area A della regione delimitata da y = x2 e y = 2x.
y = x2y = 2x
A =
3.Successioni e serieMedia
Applica il criterio del rapporto a Σk=1∞ (k!)²·5ᵏ/(2k)!. Trova L = lim |ak+1/ak|.
ak = (k!)²·5ᵏ/(2k)!
L =
4.Successioni e serieDifficile
Trova il coefficiente c₂ di (x − 1)² nella serie di Taylor di f(x) = ln x attorno ad a = 1.
f(x) = ln xa = 1k = 2
c₂ =
5.Calcolo multivariabileMedia
Per f(x, y) = 2xy − 2x² − y³, trova la derivata direzionale Duf in (1, −1) nella direzione di v = (−4, −2).
f(x, y) = 2xy − 2x² − y³P = (1, −1)v = (−4, −2)
Duf =
6.Calcolo multivariabileDifficile
f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y ha un punto critico in (−1, 1). Calcola lì il discriminante D = fxxfyy − fxy².
f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2yP = (−1, 1)
D =
7.Equazioni differenzialiMedia
Una tazza di caffè a 89 °C viene lasciata in una stanza a 19 °C. Dopo 15 min la sua temperatura è 37 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 89 °CTa = 19 °CT(15) = 37 °C
k = min⁻¹
8.Equazioni differenzialiDifficile
Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + y/x = 2x per x > 0, con y(1) = 4. Trova y(3).
y′ + y/x = 2xy(1) = 4
y(3) =
3Soluzioni
1.Integrali
Risposta: I = 0,6321
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Primitiva
F(x) = e−x/(−1)
Valuta agli estremi
I = (e−1 − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321
Risposta
I = 0,6321
2.Integrali
Risposta: A = 1,333
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Punti di intersezione
x2 = 2x → x = 0, x = 2
Integra superiore meno inferiore
A = [x2 − 0,3333x3]02 = 1,333
Risposta
A = 1,333
3.Successioni e serie
Risposta: L = 1,25
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Rapporto di termini consecutivi
|ak+1/ak| = 5·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 5/4
Conclusione
L = 1,25 > 1
Risposta
L = 1,25
L > 1, quindi la serie diverge.
4.Successioni e serie
Risposta: c₂ = −0,5
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Derivata f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = −1/x²
Coefficiente
c₂ = f⁽²⁾(1)/2! = −1/(1²·2) = −0,5
c₂ = −0,5
Risposta
c₂ = −0,5
5.Calcolo multivariabile
Risposta: Duf = 5,814
Gradiente: ∇f = (fx, fy) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è Duf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Gradiente nel punto
fx = 2y − 4x → fx(1, −1) = −6
fy = 2x − 3y² → fy(1, −1) = −1
Versore
|v| = √((−4)² + (−2)²) = 4,472
u = (−0,8944, −0,4472)
Prodotto scalare
Duf = (−6)·(−0,8944) + (−1)·(−0,4472) = 5,814
Risposta
Duf = 5,814
6.Calcolo multivariabile
Risposta: D = −12
Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha fx = fy = 0. Test delle derivate seconde con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 e fxx > 0 è un minimo locale, D > 0 e fxx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).
Derivate seconde
fxx = −6, fyy = 2, fxy = 0
Discriminante
D = (−6)·2 − 0² = −12
→ punto di sella
Risposta
D = −12
7.Equazioni differenziali
Risposta: k = 0,09054 min⁻¹
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Rapporto delle differenze di temperatura
e−15k = 18/70
Risolvi per k
k = ln(70/18)/15 = 0,09054 min⁻¹
Risposta
k = 0,09054 min⁻¹
8.Equazioni differenziali
Risposta: y(3) = 7,111
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.