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1Formule e metodi
Integrali
Regola della potenza
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve
∫ab (f − g) dx
Metodo
Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per ex, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Calcolo multivariabile
Derivate parziali
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivata direzionale
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regola della catena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test delle derivate seconde
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordinate polari
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodo
Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (fx, fy) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme fx = 0 e fy = 0, poi classifica ogni punto con D = fxx·fyy − fxy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.IntegraliMedia
Calcola I = ∫13 3/x dx.
f(x) = 3/x[1, 3]
I =
2.IntegraliDifficile
Trova l'area A della regione tra la parabola y = 4 − x² e l'asse x.
y = 4 − x²
A =
3.Successioni e serieMedia
Esattamente una delle quattro serie converge. Cliccala.
A: Σ 3ᵏ/k³B: Σ 1/(k(k + 3))C: Σ (5k + 1)/(k + 2)D: Σ ln k / k
1A: Σ 3ᵏ/k³
2B: Σ 1/(k(k + 3))
3C: Σ (5k + 1)/(k + 2)
4D: Σ ln k / k
4.Successioni e serieDifficile
f(x) = eˣ è approssimata dal suo polinomio di Maclaurin di grado 2 in x = −0,5. Usa la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = 1 per trovare il massimo errore possibile |R₂|.
f(x) = eˣn = 2x = −0,5M = 1
|R₂| =
5.Calcolo multivariabileMedia
z = 3 ln(x² + 3y²) con x = −2t e y = −t² + 1. Usa la regola della catena per trovare dz/dt in t = 2.
z = 3 ln(x² + 3y²)x = −2ty = −t² + 1t = 2
dz/dt =
6.Calcolo multivariabileDifficile
Usa le coordinate polari per calcolare I = ∬R (x² + y²) dA, dove R è la metà superiore del disco x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).
f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =
7.Equazioni differenzialiMedia
Un pezzo d’acciaio forgiato a 460 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 23 °C. Dopo 25 min la sua temperatura è 184 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 460 °CTa = 23 °CT(25) = 184 °C
k = min⁻¹
8.Equazioni differenzialiDifficile
Un serbatoio contiene 200 L di acqua in cui sono disciolti 5 kg di sale. Una salamoia con 0,2 kg di sale per litro entra a 2 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Quanto sale m c’è nel serbatoio dopo 115 min?
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
3Soluzioni
1.Integrali
Risposta: I = 3,296
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Primitiva
F(x) = 3·ln x
Valuta agli estremi
I = 3·(ln 3 − ln 1) = 3·ln 3 = 3,296
Risposta
I = 3,296
2.Integrali
Risposta: A = 10,67
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Zeri
4 − x² = 0 → x = ±2
Integra
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Risposta
A = 10,67
3.Successioni e serie
Risposta: B: Σ 1/(k(k + 3))
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Verifica ogni serie
A: Σ 3ᵏ/k³ → Criterio del rapporto: L = 3 > 1, diverge.
B: Σ 1/(k(k + 3)) → Minore di 1/k²: converge per confronto.
C: Σ (5k + 1)/(k + 2) → I termini tendono a 5, non a 0: diverge per il criterio del termine n-esimo.
D: Σ ln k / k → Maggiore di 1/k per k ≥ 3: diverge per confronto con la serie armonica.
La risposta
B: Σ 1/(k(k + 3))
Risposta
B: Σ 1/(k(k + 3))
4.Successioni e serie
Risposta: |R₂| = 0,02083
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Maggiorazione della derivata
M = 1
Maggiorazione di Lagrange
|R₂| ≤ 1·0,5³/3! = 0,02083
Risposta
|R₂| = 0,02083
L’errore vero è minore: |f(−0,5) − P₂(−0,5)| = 0,01847.
5.Calcolo multivariabile
Risposta: dz/dt = 6,14
Gradiente: ∇f = (fx, fy) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è Duf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Punto e velocità di variazione
x(2) = −4, y(2) = −3
dx/dt = −2, dy/dt = −2t = −4
Derivate parziali
fx = 6x/(x² + 3y²) = −0,5581
fy = 18y/(x² + 3y²) = −1,256
Regola della catena
dz/dt = (−0,5581)·(−2) + (−1,256)·(−4) = 6,14
Risposta
dz/dt = 6,14
6.Calcolo multivariabile
Risposta: I = 12,57
Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha fx = fy = 0. Test delle derivate seconde con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 e fxx > 0 è un minimo locale, D > 0 e fxx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).
Forma polare
I = ∫0π ∫02 r²·r dr dθ
Integra
∫ r²·r dr = [r⁴/4]
I = 12,57
Risposta
I = 12,57
7.Equazioni differenziali
Risposta: k = 0,03994 min⁻¹
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Rapporto delle differenze di temperatura
e−25k = 161/437
Risolvi per k
k = ln(437/161)/25 = 0,03994 min⁻¹
Risposta
k = 0,03994 min⁻¹
8.Equazioni differenziali
Risposta: m = 28,92 kg
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Imposta l’equazione
dm/dt = 2·0,2 − (2/200)·m = 0,4 − 0,01·m
Risolvi
Il fattore integrante è ert/V; la soluzione tende all’equilibrio c·V.