Analisi 2: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Successioni e serie

Successione aritmetica: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio di Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodo

Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Calcolo multivariabile

Derivate parziali: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivata direzionale: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test delle derivate seconde: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordinate polari: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metodo

Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (f_x, f_y) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
Per gli estremi risolvi insieme f_x = 0 e f_y = 0, poi classifica ogni punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Esercizi

1.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x in radianti).

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

2.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione tra la parabola y = 4 − x² e l'asse x.

y = 4 − x²

A =

3.Successioni e serieMedia

Trova la somma S = Σ_k=1^∞ 4/(k(k + 2)).

a_k = 4/(k(k + 2))

S =

4.Successioni e serieDifficile

Usa il polinomio di Maclaurin di grado 4 di f(x) = e^2x per approssimare f(1,5). Dai P₄(1,5).

f(x) = e^2xn = 4x = 1,5

P₄(1.5) =

5.Calcolo multivariabileMedia

Per f(x, y) = −2x³y − 3x² + y³ − xy, trova la derivata direzionale D_uf in (−1, 3) nella direzione di v = (4, 4).

f(x, y) = −2x³y − 3x² + y³ − xyP = (−1, 3)v = (4, 4)

D_uf =

6.Calcolo multivariabileDifficile

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 6y ha un punto critico in (1, 3). Calcola lì il discriminante D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 6yP = (1, 3)

D =

7.Equazioni differenzialiMedia

Una tazza di caffè a 91 °C viene lasciata in una stanza a 24 °C. Dopo 5 min la sua temperatura è 61 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.

T₀ = 91 °CT_a = 24 °CT(5) = 61 °C

k = min⁻¹

8.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + y/x = 3x per x > 0, con y(1) = 1. Trova y(2).

y′ + y/x = 3xy(1) = 1

y(2) =

3Soluzioni

1.Integrali

Risposta: I = 1

Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.

Scegli u e dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitiva

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limiti

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

Risposta

I = 1

2.Integrali

Risposta: A = 10,67

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Zeri

4 − x² = 0 → x = ±2

Integra

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Risposta

A = 10,67

3.Successioni e serie

Risposta: S = 3

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio della radice: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σc_k(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Fratti semplici

4/(k(k + 2)) = (4/2)·(1/k − 1/(k + 2))

Annulla

S = (4/2)·(1 + 1/2) = 3

Risposta

S = 3

4.Successioni e serie

Risposta: P₄(1.5) = 16,38

Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.

Polinomio di Maclaurin

P₄(x) = 1 + 2x + 2x² + 1,333x³ + 0,6667x⁴

Sostituisci

P₄(1,5) = 1 + 3 + 4,5 + 4,5 + 3,375 = 16,38

Risposta

P₄(1,5) = 16,38

Il valore esatto è f(1,5) = 20,085537; l’errore 3,710537 diminuisce se prendi più termini o un punto più vicino a 0.

5.Calcolo multivariabile

Risposta: D_uf = 10,61

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è D_uf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Gradiente nel punto

f_x = −6x²y − 6x − y → f_x(−1, 3) = −15

f_y = −2x³ + 3y² − x → f_y(−1, 3) = 30

Versore

|v| = √(4² + 4²) = 5,657

u = (0,7071, 0,7071)

Prodotto scalare

D_uf = (−15)·0,7071 + 30·0,7071 = 10,61

Risposta

D_uf = 10,61

6.Calcolo multivariabile

Risposta: D = 12

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha f_x = f_y = 0. Test delle derivate seconde con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo locale, D > 0 e f_xx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Derivate seconde

f_xx = −6, f_yy = −2, f_xy = 0

Discriminante

D = (−6)·(−2) − 0² = 12

→ massimo locale

Risposta

D = 12

7.Equazioni differenziali

Risposta: k = 0,1188 min⁻¹

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Rapporto delle differenze di temperatura

e^−5k = 37/67

Risolvi per k

k = ln(67/37)/5 = 0,1188 min⁻¹

Risposta

k = 0,1188 min⁻¹

8.Equazioni differenziali

Risposta: y(2) = 4

Fattore integrante

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integra

(x¹y)′ = 3x² → x¹y = 3x³/3 + C

Condizione iniziale

1 = 3/3 + C → C = 0

Calcola

y(2) = (3·2³/3 + 0)/2¹ = 4

Risposta

y(2) = 4

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