Investi €20 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 4 anni.
PV = €20 0004,8% / 4n = 4
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €8 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €8 0004,8% / 12N = 36
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi, dura 8 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €5 000n = 8r = 8%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €9 500, €14 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 14 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 6 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 2,5% al 1%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 5%n = 6y1 = 2,5%y2 = 1%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Viene venduta a €949. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 4% (2×)n = 6P = €949
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €3 000 000. Il suo WACC è del 6,29%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €49,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 2%rm = 9%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 53, 44, 60, 43, 27.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 78?
μ = 70σ = 8x = 78
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 3
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 6 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 6p = 0,7
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 250,25 e 252,5 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 250,25x2 = 252,5
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 85% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 100 puntiσ = 15 punti85%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 105 h, deviazione standard nota 20 h. Modello 2: 80 telefoni, media 97 h, deviazione standard nota 3 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Uno studio pilota indica che circa 0,2 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,04?
p ≈ 0,2E = 0,0495%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
10 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −3,14 e la deviazione standard delle differenze è 6,2. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = −3,14sd = 6,2
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 16 misure ha media 125,5. La deviazione standard della popolazione è 10. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 125,5σ = 10n = 1690%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5,5, 39). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(5,5, 39)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 24206 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 8 000·0,004/(1 − 0,8661) = €239,05
Risposta
A = €239,05
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 15441 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−8)/0,08 = 5,747
Prezzo d’acquisto annualizzato
60 000/5,747 = 10 440,89
EAC
EAC = 10 440,89 + 5 000 = €15 440,89
Risposta
EAC = €15 440,89
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 10,72 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 206,61
NPV(15%) = −1 153,12
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, N = 12
Risolvi numericamente
i = 2,497% per semestre
YTM
YTM = 2·2,497% = 4,994%
Risposta
YTM = 4,994%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 8,008 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
Parte del debito nel WACC
0,4286·5%·(1 − 0,2) = 1,714%
Costo del capitale proprio
re = (6,29% − 1,714%)/0,5714 = 8,008%
Risposta
re = 8,008%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 12,03 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1
Tavola della normale standard
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
11.Probabilità
Risposta: P = 0,4213
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Risposta
P = 0,4213
12.Probabilità
Risposta: P = 0,01094
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,36 = 0,000729
P(X = 1) = 6·0,7·0,35 = 0,01021
Sommale
P = 0,000729 + 0,01021 = 0,01094
Risposta
P = 0,01094
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,1715
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5
Area compresa
P = Φ(0,5) − Φ(0,05) = 0,6915 − 0,5199 = 0,1715
Risposta
P = 0,1715
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 115,6 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,85
z dalla tabella
z ≈ 1,04
Di nuovo nelle unità originali
x = 100 + 1,04·15 = 115,6 punti
Risposta
x = 115,6 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 11,34 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 105 − 97 = 8
Errore standard
SE = √(20²/100 + 3²/80) = 2,028
Margine di errore
E = 1,645·2,028 = 3,336
Intervallo
8 ± 3,336 → [4,664, 11,34]
Risposta
limite superiore = 11,34 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 1,96²·0,2·0,8/0,04² = 384,2
Arrotonda per eccesso
n = 385
Risposta
n = 385
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,602
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Errore standard della differenza media
SE = 6,2/√10 = 1,961
Statistica test
t = −3,14/1,961 = −1,602
Risposta
t = −1,602
Con df = 9, il valore critico bilaterale al 5% è 2,262; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 129,6
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·10/√16 = 4,112
Limite dell'intervallo
U = 125,5 + 4,112 = 129,6
Risposta
U = 129,6
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9755
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 1839 − 25·339/5 = 144
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 23529 − 339²/5 = 544,8
Coefficiente di correlazione
r = 144/√(40·544,8) = 0,9755
Risposta
r = 0,9755
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −5,1
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 195/5 = 39
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34
Retta di regressione
b = 34/10 = 3,4
a = 39 − 3,4·4 = 25,4
ŷ = 25,4 + 3,4·x
Valore previsto
ŷ = 25,4 + 3,4·5,5 = 44,1
Residuo
e = 39 − 44,1 = −5,1
Risposta
e = −5,1
Il punto si trova sotto la retta.
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