Investi €2 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 5 anni.
PV = €2 0002% / 12n = 5
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €12 000 al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €200 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €12 000A = €2004,2% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €9 000, €6 000, €9 000, €5 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €10 000 e rende €6 000, €4 000, €2 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €12 000 e rende €3 500, €5 000, €6 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 6 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 6,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 6y0 = 5%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 7 anni e quota €1 060. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 7P = €1 060
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €25,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 10,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 10,5%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 30, 40, 23, 49, 23.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è superiore a 50?
μ = 60σ = 20x = 50
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 8 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 8
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?
n = 5p = 0,4k = 2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,0344. Trova z con due decimali.
A = 0,0344
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,03 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 11,2. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 90% calcolato dagli stessi dati?
95%n₁ = 25E₁ = 11,290%
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 23. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 23E = 399%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 80 pezzi ha lunghezza media 59 mm, e la deviazione standard nota della linea è 10 mm. Linea 2: un campione di 80 pezzi ha media 62,5 mm, deviazione standard nota 14 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 70 pazienti su 200 con il trattamento A guariscono, e 50 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 70n₁ = 200x₂ = 50n₂ = 120
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 66?
n = 5ŷ = 66
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2210 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0035/200 = 0,79
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,79)/ln(1,004) = 67,47
Arrotonda a rate intere
67 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 68
Risposta
N = 68 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 1139 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 9 000/1,15 = 7 826,09
CF2/(1 + 0,15)2 = 6 000/1,322 = 4 536,86
CF3/(1 + 0,15)3 = 9 000/1,521 = 5 917,65
CF4/(1 + 0,15)4 = 5 000/1,749 = 2 858,77
Sommali
NPV = €1 139,36
Risposta
NPV = €1 139,36
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 9,256 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 6 000 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 000 = 4 500
TIR della differenza
NPVΔ(9%) = 22,93
NPVΔ(10%) = −65,36
r* = 9,256%
Risposta
r* = 9,256%
Verifica: al 9,256% entrambi i VAN valgono €376,20.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −1,307 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 060 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86
YTM = 4,964%
Risposta
YTM = 4,964%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,128 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Risposta
P = 0,6915
11.Probabilità
Risposta: P = 0,7674
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Risposta
P = 0,7674
12.Probabilità
Risposta: P = 0,3456
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 2) = 10·0,42·0,63 = 10·0,16·0,216 = 0,3456
Risposta
P = 0,3456
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 1,82
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,0344 = 0,9656
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9656 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,82
Risposta
z = 1,82
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,8849
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Standardizza
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Probabilità
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Risposta
P = 0,8849
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 9,4
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/25) = 0,8393
Nuovo margine
E₂ = 11,2·0,8393 = 9,4
Risposta
E₂ = 9,4
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 391
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·23/3)² = 390
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 391
Risposta
n = 391
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,82
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(10²/80 + 14²/80) = √3,7 = 1,924
Statistica test
z = (59 − 62,5)/1,924 = −1,82
Risposta
z = −1,82
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,193
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 70/200 = 0,35
p̂₂ = 50/120 = 0,4167
p̂ = 120/320 = 0,375
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,375·0,625·(1/200 + 1/120)) = 0,0559
Statistica test
z = (0,35 − 0,4167)/0,0559 = −1,193
Risposta
z = −1,193
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9977
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 305/5 = 61
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1646
Coefficiente di correlazione
r = 256/√(40·1646) = 0,9977
Risposta
r = 0,9977
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 6,551
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 292/5 = 58,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49
Retta di regressione
b = 49/10 = 4,9
a = 58,4 − 4,9·5 = 33,9
ŷ = 33,9 + 4,9·x
Risolvi per x
x = (66 − 33,9)/4,9 = 6,551
Risposta
x = 6,551
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