Ti servono €15 000 tra 10 anni. Un conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0004,8% / 12n = 10
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 13? Trova il debito residuo B.
P = €250 0006% / 12N = 300k = 156
B = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €100 000 oggi. Genera €14 500 alla fine di ogni anno per 8 anni e poi può essere venduta a €20 000. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF = €14 500S = €20 000n = 8r = 6%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €20 000 rende €5 000 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €5 000n = 9
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 2,5%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Viene venduta a €1 069. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5% (2×)n = 5P = €1 069
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €16,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 1,5%rm = 6,5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 54, 32, 40, 37, 35.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 160?
μ = 170σ = 10x = 160
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,3
σ =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?
n = 12p = 0,7k = 3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 178 e 181,5 cm? Dai P come numero decimale.
μ = 178σ = 7x1 = 178x2 = 181,5
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 80% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 143,5 h, deviazione standard nota 12 h. Modello 2: 60 telefoni, media 150 h, deviazione standard nota 7 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 14. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?
σ = 14E = 199%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 40 pezzi ha lunghezza media 90,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 6 mm. Linea 2: un campione di 50 pezzi ha media 94,2 mm, deviazione standard nota 16 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 65 pazienti su 100 con il trattamento A guariscono, e 110 su 150 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 110n₂ = 150
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 6Σx = 21Σy = 96Σx² = 91Σy² = 1702Σxy = 283
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 9291 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·10 = 120
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,615 = €9 290,64
Risposta
PV = €9 290,64
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 165062 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 156 = 144
B = 1611·(1 − (1 + 0,005)−144)/0,005 = €165 061,55
Risposta
B = €165 061,55
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 2590 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 20 000/5 000 = 4
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 20%: 4,031
i = 21%: 3,905
IRR = 20,24%
Risposta
IRR = 20,24%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1180 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,0125, N = 16
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €360,51
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8197 = €819,75
Prezzo
P = €1 180,25
Risposta
P = €1 180,25
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 3,003 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, N = 10
Risolvi numericamente
i = 1,502% per semestre
YTM
YTM = 2·1,502% = 3,003%
Risposta
YTM = 3,003%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,61 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·14% + 0,25·6%·(1 − 0,258) = 11,61%
Risposta
WACC = 11,61%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,086 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Risposta
P = 0,1587
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,145
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,25 + 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,7
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,2
Varianza
Var(X) = 4,2 − 1,7² = 1,31
σ = √1,31 = 1,145
Risposta
σ = 1,145
12.Probabilità
Risposta: P = 0,001485
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (178 − 178)/7 = 0
z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5
Area compresa
P = Φ(0,5) − Φ(0) = 0,6915 − 0,5 = 0,1915
Risposta
P = 0,1915
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 466 h
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,2
z dalla tabella
z ≈ −0,84
Di nuovo nelle unità originali
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Risposta
x = 466 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = −3,329 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 143,5 − 150 = −6,5
Errore standard
SE = √(12²/80 + 7²/60) = 1,618
Margine di errore
E = 1,96·1,618 = 3,171
Intervallo
−6,5 ± 3,171 → [−9,671, −3,329]
Risposta
limite superiore = −3,329 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 1301
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·14/1)² = 1301
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 1301
Risposta
n = 1301
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,508
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(6²/40 + 16²/50) = √6,02 = 2,454
Statistica test
z = (90,5 − 94,2)/2,454 = −1,508
Risposta
z = −1,508
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,409
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 65/100 = 0,65
p̂₂ = 110/150 = 0,7333
p̂ = 175/250 = 0,7
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,7·0,3·(1/100 + 1/150)) = 0,05916
Statistica test
z = (0,65 − 0,7333)/0,05916 = −1,409
Risposta
z = −1,409
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,9833
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 283 − 21·96/6 = −53
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1702 − 96²/6 = 166
Coefficiente di correlazione
r = −53/√(17,5·166) = −0,9833
Risposta
r = −0,9833
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 14,75
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 87/5 = 17,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Retta di regressione
b = 106/40 = 2,65
a = 17,4 − 2,65·6 = 1,5
ŷ = 1,5 + 2,65·x
Previsione
ŷ = 1,5 + 2,65·5 = 14,75
Risposta
ŷ = 14,75
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