Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 4% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 9% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €2 000g = 4%r = 9%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €150 alla fine di ogni mese per 30 anni. Il conto rende il 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1507,2% / 12N = 360
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €23 000, €24 000, €29 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €26 000, €19 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 26 000CF2 = 19 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 3%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 16 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 9%) viene venduta a €1 089. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 090. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 9%P = €1 089prezzo di richiamo = €1 090richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €38,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 10,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 43, 21, 45, 49, 13, 51, 42.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 58?
μ = 70σ = 8x = 58
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 7 palline rosse e 7 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
7 / 7
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 8 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?
n = 8p = 0,1k = 2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 30,5 e 38,3 min? Dai P come numero decimale.
μ = 32σ = 6x1 = 30,5x2 = 38,3
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 80% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 33,5 e deviazione standard s = 8,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 25x̄ = 33,5s = 8,595%t(24) = 2,064
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Uno studio pilota indica che circa 0,4 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,01?
p ≈ 0,4E = 0,0195%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 120; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 15. Un campione casuale di 25 osservazioni ha media 124,98. Verifica H₀: μ = 120 contro H₁: μ > 120. Trova il p-value p.
μ₀ = 120σ = 15n = 25x̄ = 124,98H₁: μ > μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 18 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 8 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 18n₁ = 120x₂ = 8n₂ = 120
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (2,5, 25). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 25)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 40000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 23 000/1,08 = 21 296,30
CF2/(1 + 0,08)2 = 24 000/1,166 = 20 576,13
CF3/(1 + 0,08)3 = 29 000/1,26 = 23 021,13
Sommali
NPV = €−10 106,44
Risposta
NPV = €−10 106,44
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 9,515 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 2 448,98
NPV(10%) = −247,93
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,015, N = 6
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €113,94
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,9145 = €914,54
Prezzo
P = €1 028,49
Risposta
P = €1 028,49
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 8,285 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1089 = 90·(1 − (1 + y)−4)/y + 1090/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 8%: €1 099,27
y = 9%: €1 063,76
YTC = 8,285%
Risposta
YTC = 8,285%
Il rendimento a scadenza è del 7,995%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,685 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941
WACC
WACC = 0,7059·10% + 0,2941·7%·(1 − 0,21) = 8,685%
Risposta
WACC = 8,685%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,716 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,5
Tavola della normale standard
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Risposta
P = 0,06681
11.Probabilità
Risposta: P = 0,2308
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0,2308
Risposta
P = 0,2308
12.Probabilità
Risposta: P = 0,1488
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 2) = 28·0,12·0,96 = 28·0,01·0,5314 = 0,1488
Risposta
P = 0,1488
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,4518
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25
z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05
Area compresa
P = Φ(1,05) − Φ(−0,25) = 0,8531 − 0,4013 = 0,4518
Risposta
P = 0,4518
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 534 h
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,8
z dalla tabella
z ≈ 0,84
Di nuovo nelle unità originali
x = 500 + 0,84·40 = 534 h
Risposta
x = 534 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 37,01
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margine di errore
E = 2,064·8,5/√25 = 3,509
Intervallo
33,5 ± 3,509 → [29,99, 37,01]
Risposta
limite superiore = 37,01
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 9220
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 1,96²·0,4·0,6/0,01² = 9220
Arrotonda per eccesso
n = 9220
Risposta
n = 9220
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,04846
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 15/√25 = 3
z = (124,98 − 120)/3 = 1,66
Area della coda
Φ(1,66) = 0,9515
1 − Φ(1,66) = 0,0485
p-value
p = 0,04846
Risposta
p = 0,04846
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,077
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 18/120 = 0,15
p̂₂ = 8/120 = 0,06667
p̂ = 26/240 = 0,1083
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,1083·0,8917·(1/120 + 1/120)) = 0,04012
Statistica test
z = (0,15 − 0,06667)/0,04012 = 2,077
Risposta
z = 2,077
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9923
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 278/5 = 55,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1141
Coefficiente di correlazione
r = 212/√(40·1141) = 0,9923
Risposta
r = 0,9923
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 4,65
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 96/5 = 19,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Retta di regressione
b = −23/10 = −2,3
a = 19,2 − (−2,3)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,3·x
Valore previsto
ŷ = 26,1 + (−2,3)·2,5 = 20,35
Residuo
e = 25 − 20,35 = 4,65
Risposta
e = 4,65
Il punto si trova sopra la retta.
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