Investi €1 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 18 anni.
PV = €1 000r = 8%t = 18
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €3 000 all’inizio di ogni anno per 23 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 8% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 23? Trova FV.
A = €3 000i = 8%n = 23
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi. Genera €8 500 alla fine di ogni anno per 6 anni e poi può essere venduta a €12 500. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF = €8 500S = €12 500n = 6r = 6%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €7 500, €5 000, €4 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 5 000CF3 = 4 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) quando il suo rendimento a scadenza è del 4%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 7y0 = 4%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 10 anni e quota €1 180. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 10P = €1 180
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,25 ha un rendimento richiesto del 7,13%. Il tasso privo di rischio è del 1,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,25re = 7,13%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €31,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 16, 37, 30, 17, 56, 48.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Quale proporzione P dei valori è superiore a 480?
μ = 500σ = 25x = 480
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,1, 0,2
σ =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 6 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 6p = 0,1
P =
13.Distribuzione normaleMedia
X è normale con media 60 s e deviazione standard 5 s; Y è indipendente e normale con media 45 s e deviazione standard 4 s. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 108,2 s. Arrotonda z a due decimali.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 108,2 s
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,04 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 11,9. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 576 osservazioni?
99%n₁ = 64E₁ = 11,9n₂ = 576
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 27. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 27E = 399%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 74 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 74s = 5n = 81
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 500,1. La deviazione standard della popolazione è 8. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 500,1σ = 8n = 6490%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (10, 49). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(10, 49)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4221 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,08·18 = 1,44
e1,44 = 4,221
Valore futuro
FV = 1 000·4,221 = €4 220,70
Risposta
FV = €4 220,70
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 197294 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,08)23 − 1)/0,08 = 60,89
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 3 000·60,89·1,08 = €197 294,28
Risposta
FV = €197 294,28
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 609,3 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
8 500·4,917 = 41 797,26
Valore attuale del valore residuo
12 500/1,419 = 8 812,01
NPV
NPV = −50 000 + 41 797,26 + 8 812,01 = €609,26
Risposta
NPV = €609,26
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 34,37 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 548,48
NPV(35%) = −75,19
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 30 + 5·548,48/(548,48 − (−75,19)) = 34,4%
esatto: NPV(34,37%) = 0 → IRR = 34,37%
Risposta
IRR = 34,37%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 1,6 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (7,13% − 1,5%)/1,25 = 4,504%
Rendimento di mercato
rm = 1,5% + 4,504% = 6,004%
Risposta
rm = 6,004%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,7 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 4 000 000·€31,50 = €126 000 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 0,9·6% = 7,9%
Pesi
V = €130 800 000, E/V = 0,9633, D/V = 0,0367
WACC
WACC = 0,9633·7,9% + 0,0367·3,5%·(1 − 0,3) = 7,7%
Risposta
WACC = 7,7%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 16,24
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,8
Tavola della normale standard
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Risposta
P = 0,7881
11.Probabilità
Risposta: σ = 2,216
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,35 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,2 = 2,3
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,2 = 10,2
Varianza
Var(X) = 10,2 − 2,3² = 4,91
σ = √4,91 = 2,216
Risposta
σ = 2,216
12.Probabilità
Risposta: P = 0,8857
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,96 = 0,5314
P(X = 1) = 6·0,1·0,95 = 0,3543
Sommale
P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857
Risposta
P = 0,8857
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,3085
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della somma
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standardizza
z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5
Coda superiore
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9633
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
Standardizza
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
Probabilità
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
Risposta
P = 0,9633
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 3,967
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/576) = 0,3333
Nuovo margine
E₂ = 11,9·0,3333 = 3,967
Risposta
E₂ = 3,967
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 538
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·27/3)² = 537,5
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 538
Risposta
n = 538
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Statistica test
t = (74 − 75)/0,5556 = −1,8
Risposta
t = −1,8
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 501,7
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·8/√64 = 1,645
Limite dell'intervallo
U = 500,1 + 1,645 = 501,7
Risposta
U = 501,7
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,985
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 461/6 = 76,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 377
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2093
Coefficiente di correlazione
r = 377/√(70·2093) = 0,985
Risposta
r = 0,985
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −4,376
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 281/6 = 46,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 229
Retta di regressione
b = 229/70 = 3,271
a = 46,83 − 3,271·8 = 20,66
ŷ = 20,66 + 3,271·x
Valore previsto
ŷ = 20,66 + 3,271·10 = 53,38
Residuo
e = 49 − 53,38 = −4,376
Risposta
e = −4,376
Il punto si trova sotto la retta.
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