Una rendita paga €500 alla fine di ogni anno per 14 anni. Il tasso di interesse è il 10% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €500i = 10%n = 14
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €200 alla fine di ogni mese per 27 anni. Il conto rende il 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2005,4% / 12N = 324
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi, dura 4 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 10%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €5 000n = 4r = 10%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €20 000 e rende €11 500, €7 500, €4 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €22 000 e rende €6 000, €8 500, €12 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 10 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 8 anni e quota €945. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 8P = €945
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €42,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 3,5%rm = 9%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 41, 47, 39, 45, 20, 25, 42.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 40. Trova il punteggio z z di un voto pari a 550.
μ = 500σ = 40x = 550
z =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 8 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 8
P =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 3X + 5. Trova la deviazione standard σY di Y.
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,6950. Trova z con due decimali.
A = 0,6950
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 5% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 133,5 h, deviazione standard nota 7 h. Modello 2: 60 telefoni, media 125,5 h, deviazione standard nota 8 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 40. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 40E = 390%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 49,22 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 49,22s = 5n = 81
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 65 pazienti su 100 con il trattamento A guariscono, e 188 su 250 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 188n₂ = 250
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 15,5.
n = 5x = 15,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 3683 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2633)/0,1 = 7,367
Valore attuale
PV = 500·7,367 = €3 683,34
Risposta
PV = €3 683,34
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 145926 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,1−4)/0,1 = 3,17
Prezzo d’acquisto annualizzato
60 000/3,17 = 18 928,25
EAC
EAC = 18 928,25 + 5 000 = €23 928,25
Risposta
EAC = €23 928,25
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 5,989 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 000 − 11 500 = −5 500
ΔCF2 = 8 500 − 7 500 = 1 000
ΔCF3 = 12 000 − 4 500 = 7 500
TIR della differenza
NPVΔ(5%) = 147,72
NPVΔ(6%) = −1,54
r* = 5,989%
Risposta
r* = 5,989%
Verifica: al 5,989% entrambi i VAN valgono €1 305,85.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1126 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,0175, N = 20
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €418,82
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7068 = €706,82
Prezzo
P = €1 125,65
Risposta
P = €1 125,65
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,993 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€945 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €944,65
YTM = 8,993%
Risposta
YTM = 8,993%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,72 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·12% + 0,25·4%·(1 − 0,28) = 9,72%
Risposta
WACC = 9,72%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,73 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (550 − 500)/40 = 1,25
Risposta
z = 1,25
11.Probabilità
Risposta: P = 0,7674
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Risposta
P = 0,7674
12.Probabilità
Risposta: σY = 4,272
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 1,85, Var(X) = 2,028, σX = 1,424
Trasformazione lineare
σY = |3|·1,424 = 4,272
Risposta
σY = 4,272
La media invece si sposta: E(Y) = 3·1,85 + 5 = 10,55.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = −0,51
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,6950 = 0,3050
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,3050 dentro la tabella e leggi z.
z = −0,51
Risposta
z = −0,51
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 241,8 g
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,05
z dalla tabella
z ≈ −1,64
Di nuovo nelle unità originali
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
Risposta
x = 241,8 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 5,297 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 133,5 − 125,5 = 8
Errore standard
SE = √(7²/30 + 8²/60) = 1,643
Margine di errore
E = 1,645·1,643 = 2,703
Intervallo
8 ± 2,703 → [5,297, 10,7]
Risposta
limite inferiore = 5,297 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 482
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·40/3)² = 481,1
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 482
Risposta
n = 482
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,404
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Statistica test
t = (49,22 − 50)/0,5556 = −1,404
Risposta
t = −1,404
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,926
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 65/100 = 0,65
p̂₂ = 188/250 = 0,752
p̂ = 253/350 = 0,7229
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,7229·0,2771·(1/100 + 1/250)) = 0,05296
Statistica test
z = (0,65 − 0,752)/0,05296 = −1,926
Risposta
z = −1,926
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9919
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 10608 − 141·426/6 = 597
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157,5
Syy = 32546 − 426²/6 = 2300
Coefficiente di correlazione
r = 597/√(157,5·2300) = 0,9919
Risposta
r = 0,9919
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 27,2
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 220/5 = 44
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 336
Retta di regressione
b = 336/90 = 3,733
a = 44 − 3,733·20 = −30,67
ŷ = −30,67 + 3,733·x
Previsione
ŷ = −30,67 + 3,733·15,5 = 27,2
Risposta
ŷ = 27,2
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