Ti servono €15 000 tra 5 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0002% / 12n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €5 000 all’inizio di ogni anno per 15 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 7% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 15? Trova FV.
A = €5 000i = 7%n = 15
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €24 000, €24 000, €20 000, €19 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €150 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €16 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 10. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €150 000CF1 = €16 500g = 4%n = 10r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 8 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 8y0 = 7%y1 = 6%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 7 anni e quota €1 055. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 7P = €1 055
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €10,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 4%rm = 9,5%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 29, 33, 47, 16, 17, 30.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è superiore a 50?
μ = 70σ = 10x = 50
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 5 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
3 / 5
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?
n = 12p = 0,25k = 5
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 22,4 e 44 min? Dai P come numero decimale.
μ = 32σ = 6x1 = 22,4x2 = 44
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 75 % dei dati (il 75° percentile).
μ = 32σ = 6P = 75%
x = min
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 10 elementi ha media 56 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 10x̄ = 56s = 1590%t(9) = 1,833
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 11. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?
σ = 11E = 199%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 103,6 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 103,6s = 10n = 64
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 496,8. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 496,8σ = 20n = 6490%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 80?
n = 6ŷ = 80
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 13574 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·5 = 60
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,105 = €13 573,69
Risposta
PV = €13 573,69
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 134440 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,07)15 − 1)/0,07 = 25,13
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 5 000·25,13·1,07 = €134 440,27
Risposta
FV = €134 440,27
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 12641 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 24 000/1,08 = 22 222,22
CF2/(1 + 0,08)2 = 24 000/1,166 = 20 576,13
CF3/(1 + 0,08)3 = 20 000/1,26 = 15 876,64
CF4/(1 + 0,08)4 = 19 000/1,36 = 13 965,57
Sommali
NPV = €12 640,57
Risposta
NPV = €12 640,57
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −31942 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 13,09 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(6%) = €1 055,82, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,014%
Risposta
YTM = 6,014%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,075 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·4,5%·(1 − 0,3) = 8,075%
Risposta
WACC = 8,075%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,705 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −2
Tavola della normale standard
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
11.Probabilità
Risposta: P = 0,1071
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0,1071
Risposta
P = 0,1071
12.Probabilità
Risposta: P = 0,1032
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6
z₂ = (44 − 32)/6 = 2
Area compresa
P = Φ(2) − Φ(−1,6) = 0,9772 − 0,0548 = 0,9225
Risposta
P = 0,9225
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 36,05 min
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Ritorno a x
x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min
Risposta
x = 36,05 min
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 47,31
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Margine di errore
E = 1,833·15/√10 = 8,695
Intervallo
56 ± 8,695 → [47,31, 64,69]
Risposta
limite inferiore = 47,31
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 803
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·11/1)² = 802,9
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 803
Risposta
n = 803
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,88
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Statistica test
t = (103,6 − 100)/1,25 = 2,88
Risposta
t = 2,88
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 500,9
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·20/√64 = 4,112
Limite dell'intervallo
U = 496,8 + 4,112 = 500,9
Risposta
U = 500,9
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,9184
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 42,8
Coefficiente di correlazione
r = −19/√(10·42,8) = −0,9184
Risposta
r = −0,9184
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 8,342
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 473/6 = 78,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239
Retta di regressione
b = 239/70 = 3,414
a = 78,83 − 3,414·8 = 51,52
ŷ = 51,52 + 3,414·x
Risolvi per x
x = (80 − 51,52)/3,414 = 8,342
Risposta
x = 8,342
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