Investi €20 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 8 anni.
PV = €20 0003% / 12n = 8
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €8 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €8 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €21 000, €22 000, €36 000, €30 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €23 000, €32 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 23 000CF2 = 32 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 5 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 068 quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 5P = €1 068YTM = 3,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 8 anni e quota €1 110. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 8P = €1 110
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €48,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €24 300 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,80 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €24 300 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 19, 50, 19, 12, 50, 34.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 78?
μ = 60σ = 12x = 78
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 7 palline rosse e 7 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
7 / 7
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?
n = 11p = 0,2k = 3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 250 e 260,25 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 260,25
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 4,7. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 95% calcolato dagli stessi dati?
99%n₁ = 25E₁ = 4,795%
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Non si sa nulla in anticipo sulla proporzione di prodotti difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,04?
p = 0,5E = 0,0495%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 115,5 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 115,5s = 20n = 16
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 10E = 2,599%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5, 4). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(5, 4)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 25417 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 8 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €152,44
Risposta
A = €152,44
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 13935 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 21 000/1,08 = 19 444,44
CF2/(1 + 0,08)2 = 22 000/1,166 = 18 861,45
CF3/(1 + 0,08)3 = 36 000/1,26 = 28 577,96
CF4/(1 + 0,08)4 = 30 000/1,36 = 22 050,90
Sommali
NPV = €13 934,75
Risposta
NPV = €13 934,75
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,839 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 1 383,22
NPV(10%) = −2 231,40
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,035)−5 = €841,97
Cedola
C = (1068 − 841,97)/4,515 = €50,06
Tasso cedolare
c = 50,06/1000 = 5,006%
Risposta
c = 5,006%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,468 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 110 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20
YTM = 2,468%
Risposta
YTM = 2,468%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,01 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·14% + 0,3333·7%·(1 − 0,28) = 11,01%
Risposta
WACC = 11,01%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,67 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,5
Tavola della normale standard
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Risposta
P = 0,06681
11.Probabilità
Risposta: P = 0,2308
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0,2308
Risposta
P = 0,2308
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2215
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05
Area compresa
P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798
Risposta
P = 0,4798
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7881
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standardizza
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Risposta
P = 0,7881
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 3,576
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/25) = 0,7609
Nuovo margine
E₂ = 4,7·0,7609 = 3,576
Risposta
E₂ = 3,576
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2
Arrotonda per eccesso
n = 601
Risposta
n = 601
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,9
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Statistica test
t = (115,5 − 120)/5 = −0,9
Risposta
t = −0,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 107
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·10/2,5)² = 106,2
Arrotonda per eccesso
n = 107
Risposta
n = 107
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9945
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 93/5 = 18,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Syy = Σ(y − ȳ)² = 427,2
Coefficiente di correlazione
r = 130/√(40·427,2) = 0,9945
Risposta
r = 0,9945
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −4,75
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 53/5 = 10,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Retta di regressione
b = 74/40 = 1,85
a = 10,6 − 1,85·6 = −0,5
ŷ = −0,5 + 1,85·x
Valore previsto
ŷ = −0,5 + 1,85·5 = 8,75
Residuo
e = 4 − 8,75 = −4,75
Risposta
e = −4,75
Il punto si trova sotto la retta.
Questo è materiale di esercitazione indipendente. ExamProblems non è affiliato né approvato dall’organizzazione che gestisce questo esame, e il nome dell’esame è usato solo per descrivere i contenuti. CFA® and Chartered Financial Analyst® sono marchi di CFA Institute, che non è affiliato a ExamProblems, non lo approva e non ne garantisce l’accuratezza.