Una rendita paga €1 500 alla fine di ogni anno per 11 anni. Il tasso di interesse è il 5% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €1 500i = 5%n = 11
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 6? Trova il debito residuo B.
P = €200 0007,2% / 12N = 300k = 72
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €12 500, €19 500, €22 000, €15 000, €22 000, €19 500 alla fine degli anni da 1 a 6. Il costo del capitale è il 8%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Il progetto A costa €10 000 e rende €5 500, €3 500, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €12 000 e rende €3 000, €4 500, €6 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 5%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 5 anni e quota €925. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 5P = €925
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €20,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 3,5%rm = 10%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 29, 49, 49, 20, 53, 60.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 178?
μ = 170σ = 8x = 178
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 2 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 2
P =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 10X + 10. Trova la deviazione standard σY di Y.
Le masse di sacchi di cemento sono indipendenti e normali con media 25 kg e deviazione standard 0,5 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 12 di essi superi 301,7 kg. Arrotonda z a due decimali.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 301,7 kg
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 90% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 65 puntiσ = 10 punti90%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 55 h, deviazione standard nota 6 h. Modello 2: 30 telefoni, media 46 h, deviazione standard nota 3 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
I diametri di 15 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 10,9 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 14, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 5,629 e il 2,5% sopra 26,119.
n = 15s = 10,9 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 96,29 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 96,29s = 10n = 49
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 100 contro H₁: μ < 100 viene eseguito con α = 0.10 su un campione di 64; la deviazione standard è nota e vale 8. In realtà la media è 98.9. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 100μ = 98,9σ = 8n = 64α = 0,10
β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 43?
n = 5ŷ = 43
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 12460 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5847)/0,05 = 8,306
Valore attuale
PV = 1 500·8,306 = €12 459,62
Risposta
PV = €12 459,62
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 178540 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 72 = 228
B = 1439·(1 − (1 + 0,006)−228)/0,006 = €178 539,89
Risposta
B = €178 539,89
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 4,215 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 12 500/1,08 = 11 574,07 → Σ = 11 574,07
anno 2: 19 500/1,166 = 16 718,11 → Σ = 28 292,18
anno 3: 22 000/1,26 = 17 464,31 → Σ = 45 756,49
anno 4: 15 000/1,36 = 11 025,45 → Σ = 56 781,94
anno 5: 22 000/1,469 = 14 972,83 → Σ = 71 754,77
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 3 218,06/14 972,83 = 4,215
Risposta
DPB = 4,215 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,4 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 4,802 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 4 500 − 3 500 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
TIR della differenza
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Risposta
r* = 4,802%
Verifica: al 4,802% entrambi i VAN valgono €606,49.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 978,1 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,025, N = 10
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,7812)/0,025 = €196,92
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7812 = €781,20
Prezzo
P = €978,12
Risposta
P = €978,12
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 9,977 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€925 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18
YTM = 9,977%
Risposta
YTM = 9,977%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,014 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·9% + 0,1429·3%·(1 − 0,3) = 8,014%
Risposta
WACC = 8,014%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,09 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 4 000 000·€20,50 = €82 000 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3,5% + 0,6·6,5% = 7,4%
Pesi
V = €91 800 000, E/V = 0,8932, D/V = 0,1068
WACC
WACC = 0,8932·7,4% + 0,1068·6%·(1 − 0,25) = 7,09%
Risposta
WACC = 7,09%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 15,4
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1
Tavola della normale standard
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Risposta
P = 0,1587
11.Probabilità
Risposta: P = 0,3056
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Risposta
P = 0,3056
12.Probabilità
Risposta: σY = 13,23
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 3,5, Var(X) = 1,75, σX = 1,323
Trasformazione lineare
σY = |10|·1,323 = 13,23
Risposta
σY = 13,23
La media invece si sposta: E(Y) = 10·3,5 + 10 = 45.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,1635
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 300 kg, σT = 0,5·√12 = 1,732 kg
Standardizza
z = (301,7 − 300)/1,732 = 0,98
Probabilità
P = 1 − Φ(0,98) = 0,1635
Risposta
P = 0,1635
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 77,8 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,9
z dalla tabella
z ≈ 1,28
Di nuovo nelle unità originali
x = 65 + 1,28·10 = 77,8 punti
Risposta
x = 77,8 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 11,4 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 55 − 46 = 9
Errore standard
SE = √(6²/30 + 3²/30) = 1,225
Margine di errore
E = 1,96·1,225 = 2,4
Intervallo
9 ± 2,4 → [6,6, 11,4]
Risposta
limite superiore = 11,4 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 17,19 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 14·10,9² = 1663
Limiti per σ²
1663/26,119 = 63,68
1663/5,629 = 295,5
Limite per σ
σ = √295,5 = 17,19 µm
Risposta
σ = 17,19 µm
Intervallo al 95% per σ: [7,98, 17,19] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,597
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Statistica test
t = (96,29 − 100)/1,429 = −2,597
Risposta
t = −2,597
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 57,22 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 100 − 1,282·1 = 98,72
z sotto la media vera
z = (98,72 − 98,9)/1 = −0,182
Errore di secondo tipo
potenza = P(Z < −0.182) = 42.78%
β = 100% − 42,78% = 57,22%
Risposta
β = 57,22%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9722
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 112/5 = 22,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Syy = Σ(y − ȳ)² = 533,2
Coefficiente di determinazione
r² = 144²/(40·533,2) = 0,9722
Risposta
r² = 0,9722
Circa il 97,22% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 4,491
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 201/5 = 40,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
Retta di regressione
b = 57/10 = 5,7
a = 40,2 − 5,7·4 = 17,4
ŷ = 17,4 + 5,7·x
Risolvi per x
x = (43 − 17,4)/5,7 = 4,491
Risposta
x = 4,491
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