Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 2,5%r = 7,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni al 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €15 0006% / 12N = 60
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €20 000 oggi e rende €7 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €11 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 10. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €11 000g = 5%n = 10r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 3%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Viene venduta a €810. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5% (2×)n = 11P = €810
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,4 ha un rendimento richiesto del 9,5%. Il tasso privo di rischio è del 2,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,4re = 9,5%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €6 000 000 e un costo del capitale proprio del 11%. Il suo debito è costituito da 8 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 7 anni alla scadenza) quotate €1 031 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 57, 44, 25, 24, 54, 55, 11.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 40. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 550?
μ = 500σ = 40x = 550
P =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 7? L'ordine non conta.
n = 7k = 5
N =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?
n = 11p = 0,4k = 4
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 70,75 e 127 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 127
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 15% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 500 hσ = 40 h15%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 91,5 h, deviazione standard nota 13 h. Modello 2: 40 telefoni, media 97,5 h, deviazione standard nota 8 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
I diametri di 16 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 1 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 15, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 6,262 e il 2,5% sopra 27,488.
n = 16s = 1 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 50; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 3. Un campione casuale di 36 osservazioni ha media 50,91. Verifica H₀: μ = 50 contro H₁: μ > 50. Trova il p-value p.
μ₀ = 50σ = 3n = 36x̄ = 50,91H₁: μ > μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 4E = 1,599%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (4,5, 63). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 63)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 160000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,005, N = 60
A = 15 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−60) = €289,99
Interessi totali
I = N·A − P = 60·290 − 15 000 = €2 399,52
Risposta
I = €2 399,52
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,163 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 7 000/1,05 = 6 666,67 → Σ = 6 666,67
anno 2: 7 000/1,103 = 6 349,21 → Σ = 13 015,87
anno 3: 7 000/1,158 = 6 046,86 → Σ = 19 062,74
anno 4: 7 000/1,216 = 5 758,92 → Σ = 24 821,65
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 937,26/5 758,92 = 3,163
Risposta
DPB = 3,163 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,857 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −25272 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1501 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,015, N = 24
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €801,22
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6995 = €699,54
Prezzo
P = €1 500,76
Risposta
P = €1 500,76
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,006 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, N = 22
Risolvi numericamente
i = 3,503% per semestre
YTM
YTM = 2·3,503% = 7,006%
Risposta
YTM = 7,006%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 7,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (9,5% − 2,5%)/1,4 = 5%
Rendimento di mercato
rm = 2,5% + 5% = 7,5%
Risposta
rm = 7,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,149 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,25
Tavola della normale standard
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Risposta
P = 0,8944
11.Probabilità
Risposta: N = 21
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21
Risposta
N = 21
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2365
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8
Area compresa
P = Φ(1,8) − Φ(−1,95) = 0,9641 − 0,02559 = 0,9385
Risposta
P = 0,9385
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 458 h
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,15
z dalla tabella
z ≈ −1,04
Di nuovo nelle unità originali
x = 500 − 1,04·40 = 458 h
Risposta
x = 458 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −10,42 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 91,5 − 97,5 = −6
Errore standard
SE = √(13²/30 + 8²/40) = 2,689
Margine di errore
E = 1,645·2,689 = 4,424
Intervallo
−6 ± 4,424 → [−10,42, −1,576]
Risposta
limite inferiore = −10,42 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 0,7387 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 15·1² = 15
Limiti per σ²
15/27,488 = 0,5457
15/6,262 = 2,395
Limite per σ
σ = √0,5457 = 0,7387 µm
Risposta
σ = 0,7387 µm
Intervallo al 95% per σ: [0,7387, 1,548] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,03438
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5
z = (50,91 − 50)/0,5 = 1,82
Area della coda
Φ(1,82) = 0,9656
1 − Φ(1,82) = 0,0344
p-value
p = 0,03438
Risposta
p = 0,03438
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 48
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·4/1,5)² = 47,19
Arrotonda per eccesso
n = 48
Risposta
n = 48
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9768
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 1400 − 25·254/5 = 130
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 13346 − 254²/5 = 442,8
Coefficiente di correlazione
r = 130/√(40·442,8) = 0,9768
Risposta
r = 0,9768
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 4,3
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 268/5 = 53,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34
Retta di regressione
b = 34/10 = 3,4
a = 53,6 − 3,4·3 = 43,4
ŷ = 43,4 + 3,4·x
Valore previsto
ŷ = 43,4 + 3,4·4,5 = 58,7
Residuo
e = 63 − 58,7 = 4,3
Risposta
e = 4,3
Il punto si trova sopra la retta.
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