Investi €1 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.
PV = €1 0003% / 4n = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €20 000 tra 14 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €20 0003,6% / 12N = 168
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €27 000, €20 000, €21 000, €22 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €50 000 rende €14 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €50 000CF = €14 000n = 5
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 8 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 9% al 8,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 7%n = 8y1 = 9%y2 = 8,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 3%n = 4YTM = 5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €29,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 6,5%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 52, 49, 46, 27, 32, 38, 47.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 45?
μ = 50σ = 5x = 45
P =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 7? L'ordine non conta.
n = 7k = 5
N =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?
n = 5p = 0,4k = 3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
X è normale con media 60 s e deviazione standard 5 s; Y è indipendente e normale con media 45 s e deviazione standard 4 s. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 108,2 s. Arrotonda z a due decimali.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 108,2 s
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 5% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 65 puntiσ = 10 punti5%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 15 elementi ha media 51,5 e deviazione standard s = 16. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 15x̄ = 51,5s = 1690%t(14) = 1,761
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 13. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 13E = 299%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 105,8 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 105,8s = 12n = 25
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 25 misure ha media 119,9. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 119,9σ = 4n = 2590%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 5Σx = 20Σy = 216Σx² = 90Σy² = 9342Σxy = 873
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 26?
n = 5ŷ = 26
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 1196 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 27 000/1,15 = 23 478,26
CF2/(1 + 0,15)2 = 20 000/1,322 = 15 122,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 21 000/1,521 = 13 807,84
CF4/(1 + 0,15)4 = 22 000/1,749 = 12 578,57
Sommali
NPV = €4 987,55
Risposta
NPV = €4 987,55
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 12,38 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−5)/i = 50 000/14 000 = 3,571
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 12%: 3,605
i = 13%: 3,517
IRR = 12,38%
Risposta
IRR = 12,38%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 26,11 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 30/1,05 = 28,57, t·PV = 28,57
t = 2: 30/1,103 = 27,21, t·PV = 54,42
t = 3: 30/1,158 = 25,92, t·PV = 77,75
t = 4: 1030/1,216 = 847,38, t·PV = 3 389,53
Duration
P = 929,08
D = 3 550,27/929,08 = 3,821
Risposta
D = 3,821 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,215 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·4,5%·(1 − 0,28) = 6,215%
Risposta
WACC = 6,215%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,682 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Risposta
P = 0,1587
11.Probabilità
Risposta: N = 21
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21
Risposta
N = 21
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2304
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 3) = 10·0,43·0,62 = 10·0,064·0,36 = 0,2304
Risposta
P = 0,2304
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,3085
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della somma
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standardizza
z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5
Coda superiore
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 48,6 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,05
z dalla tabella
z ≈ −1,64
Di nuovo nelle unità originali
x = 65 − 1,64·10 = 48,6 punti
Risposta
x = 48,6 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 44,22
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Margine di errore
E = 1,761·16/√15 = 7,275
Intervallo
51,5 ± 7,275 → [44,22, 58,78]
Risposta
limite inferiore = 44,22
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 281
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·13/2)² = 280,4
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 281
Risposta
n = 281
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,417
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Statistica test
t = (105,8 − 100)/2,4 = 2,417
Risposta
t = 2,417
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 121,2
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·4/√25 = 1,316
Limite dell'intervallo
U = 119,9 + 1,316 = 121,2
Risposta
U = 121,2
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,866
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 873 − 20·216/5 = 9
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 9342 − 216²/5 = 10,8
Coefficiente di correlazione
r = 9/√(10·10,8) = 0,866
Risposta
r = 0,866
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 1,667
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Retta di regressione
b = −21/10 = −2,1
a = 23,2 − (−2,1)·3 = 29,5
ŷ = 29,5 − 2,1·x
Risolvi per x
x = (26 − 29,5)/(−2,1) = 1,667
Risposta
x = 1,667
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