Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €6 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 4% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 8% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €6 000g = 4%r = 8%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0006% / 12N = 48
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €20 000 oggi, dura 6 anni e costa €1 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 10%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €20 000M = €1 000n = 6r = 10%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €10 000 e rende €5 500, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €15 000 e rende €4 000, €7 000, €7 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 10y0 = 7%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 10 anni e quota €1 190. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 10P = €1 190
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,6. Il suo costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
D/E = 0,6re = 8%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €30,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €45 800 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,20 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €152 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 18, 54, 12, 51, 46.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 475?
μ = 500σ = 50x = 475
P =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 7? L'ordine non conta.
n = 7k = 5
N =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 5 €. Si vincono 15 € con probabilità 0,1 e 250 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €5€15: p = 0,1€250: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,3156. Trova z con due decimali.
A = 0,3156
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 elementi ha media 84,5 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 16x̄ = 84,5s = 12,599%t(15) = 2,947
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 25. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 25E = 295%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
13 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 1,34 e la deviazione standard delle differenze è 2,1. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = 1,34sd = 2,1
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 119,6. La deviazione standard della popolazione è 10. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 119,6σ = 10n = 6490%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 64?
n = 6ŷ = 64
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 150000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7871
A = 12 000·0,005/(1 − 0,7871) = €281,82
Risposta
A = €281,82
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 5592 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,1−6)/0,1 = 4,355
Prezzo d’acquisto annualizzato
20 000/4,355 = 4 592,15
EAC
EAC = 4 592,15 + 1 000 = €5 592,15
Risposta
EAC = €5 592,15
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 9,07 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 7 000 − 4 000 = 3 000
ΔCF3 = 7 500 − 2 500 = 5 000
TIR della differenza
NPVΔ(9%) = 9,81
NPVΔ(10%) = −127,72
r* = 9,07%
Risposta
r* = 9,07%
Verifica: al 9,07% entrambi i VAN valgono €331,75.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −1,946 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·3%·(1 − 0,2) = 5,9%
Risposta
WACC = 5,9%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,864 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 2,2·1,02 = €2,24
re = 2,244/30,5 + 0,02 = 9,357%
Valori di mercato
E = 5 000 000·€30,50 = €152 500 000
V = €305 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9,357% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 5,864%
Risposta
WACC = 5,864%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 19,68
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
11.Probabilità
Risposta: N = 21
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21
Risposta
N = 21
12.Probabilità
Risposta: E(G) = −1 €
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 10 (p = 0,1), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)
Valore atteso
E(G) = 10·0,1 + 245·0,01 − 5·0,89 = −1 €
Risposta
E(G) = −1 €
Un valore negativo significa che in media perdi denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 0,48
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,3156 = 0,6844
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,6844 dentro la tabella e leggi z.
z = 0,48
Risposta
z = 0,48
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 26,95 min
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Ritorno a x
x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min
Risposta
x = 26,95 min
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 75,29
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 15, t = 2,947
Margine di errore
E = 2,947·12,5/√16 = 9,209
Intervallo
84,5 ± 9,209 → [75,29, 93,71]
Risposta
limite inferiore = 75,29
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 601
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·25/2)² = 600,3
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 601
Risposta
n = 601
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,301
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Errore standard della differenza media
SE = 2,1/√13 = 0,5824
Statistica test
t = 1,34/0,5824 = 2,301
Risposta
t = 2,301
Con df = 12, il valore critico bilaterale al 5% è 2,179; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 121,7
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·10/√64 = 2,056
Limite dell'intervallo
U = 119,6 + 2,056 = 121,7
Risposta
U = 121,7
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9825
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 457/6 = 76,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 247
Syy = Σ(y − ȳ)² = 902,8
Coefficiente di correlazione
r = 247/√(70·902,8) = 0,9825
Risposta
r = 0,9825
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 21,58
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 445/6 = 74,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 547,5
Retta di regressione
b = 547,5/157,5 = 3,476
a = 74,17 − 3,476·24,5 = −11
ŷ = −11 + 3,476·x
Risolvi per x
x = (64 − (−11))/3,476 = 21,58
Risposta
x = 21,58
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