Investi €5 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €5 0004% / 4n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0003% / 12N = 48
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €36 000, €24 000, €18 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €200 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €55 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 4. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €55 000g = 3%n = 4r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 3 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 2,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 3y0 = 3,5%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 9%) viene venduta a €1 192. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 090. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 9%P = €1 192prezzo di richiamo = €1 090richiamo tra 3 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,9. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio è del 2% e il premio per il rischio di mercato è del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,9D/E = 0,5T = 25,8%rf = 2%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 37, 36, 14, 23, 25, 11, 12.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 47,5?
μ = 50σ = 5x = 47,5
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 5 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 5
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 10p = 0,3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 53,5 e 77,5 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 65σ = 10x1 = 53,5x2 = 77,5
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 80 % dei dati (il 80° percentile).
μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 20 elementi ha media 65,5 e deviazione standard s = 7. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 20x̄ = 65,5s = 795%t(19) = 2,093
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 10 parcelle, resa media 16,5 kg, deviazione standard 6 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 12,5 kg, deviazione standard 4,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 102,8 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 102,8s = 10n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 50 contro H₁: μ < 50 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 20. In realtà la media è 44.2. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 50μ = 44,2σ = 20n = 100α = 0,01
1 − β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 5Σx = 15Σy = 305Σx² = 55Σy² = 18829Σxy = 960
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 6.
n = 6x = 6
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6606 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = r/m = 0,04/4 = 0,01
N = m·n = 4·7 = 28
Valore futuro
FV = 5 000·(1 + 0,01)28 = 5 000·1,321 = €6 606,45
Risposta
FV = €6 606,45
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 442,7 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 20 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €442,69
Risposta
A = €442,69
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −7873 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 36 000/1,09 = 33 027,52
CF2/(1 + 0,09)2 = 24 000/1,188 = 20 200,32
CF3/(1 + 0,09)3 = 18 000/1,295 = 13 899,30
Sommali
NPV = €−7 872,85
Risposta
NPV = €−7 872,85
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −26005 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 5,414 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1192 = 90·(1 − (1 + y)−3)/y + 1090/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 4%: €1 218,76
y = 5%: €1 186,68
YTC = 4,831%
Risposta
YTC = 4,831%
Il rendimento a scadenza è del 6,503%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,34 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
WACC
WACC = 0,8889·11% + 0,1111·7%·(1 − 0,28) = 10,34%
Risposta
WACC = 10,34%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 10,02 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,9·(1 + 0,742·0,5) = 1,234
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,234·6,5% = 10,02%
Risposta
re = 10,02%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 10,91
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Risposta
P = 0,6915
11.Probabilità
Risposta: P = 0,5981
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Risposta
P = 0,5981
12.Probabilità
Risposta: P = 0,1493
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,710 = 0,02825
P(X = 1) = 10·0,3·0,79 = 0,1211
Sommale
P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493
Risposta
P = 0,1493
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7693
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15
z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25
Area compresa
P = Φ(1,25) − Φ(−1,15) = 0,8944 − 0,1251 = 0,7693
Risposta
P = 0,7693
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 37,05 min
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Ritorno a x
x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min
Risposta
x = 37,05 min
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 62,22
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Margine di errore
E = 2,093·7/√20 = 3,276
Intervallo
65,5 ± 3,276 → [62,22, 68,78]
Risposta
limite inferiore = 62,22
16.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 9,012 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (9·6² + 5·4,5²)/14 = 30,38
sp = 5,511
Margine di errore
E = 1,761·5,511·√(1/10 + 1/6) = 5,012
Intervallo
4 ± 5,012 → [−1,012, 9,012]
Risposta
limite superiore = 9,012 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,68
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Statistica test
t = (102,8 − 100)/1,667 = 1,68
Risposta
t = 1,68
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 71,7 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 20/√100 = 2
x̄c = 50 − 2,326·2 = 45,35
z sotto la media vera
z = (45,35 − 44,2)/2 = 0,574
Potenza
potenza = P(Z < 0.574) = 71.7%
1 − β = 71,7%
Risposta
1 − β = 71,7%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9508
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 960 − 15·305/5 = 45
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 18829 − 305²/5 = 224
Coefficiente di correlazione
r = 45/√(10·224) = 0,9508
Risposta
r = 0,9508
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 59,83
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 359/6 = 59,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151
Retta di regressione
b = 151/70 = 2,157
a = 59,83 − 2,157·6 = 46,89
ŷ = 46,89 + 2,157·x
Previsione
ŷ = 46,89 + 2,157·6 = 59,83
Risposta
ŷ = 59,83
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