Ti servono €15 000 tra 6 anni. Un conto rende il 3 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0003% / 4n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 9 anni. Il conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1006% / 12N = 108
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €35 000, €33 000, €27 000, €29 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €26 500, €23 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 26 500CF2 = 23 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 2%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 2%n = 7y0 = 3,5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 7 anni e quota €925. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 7P = €925
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
D/E = 1re = 14%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €36,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 5,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 1,5%rm = 5,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 33, 20, 11, 21, 60, 56.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 84.
μ = 100σ = 20x = 84
z =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 6 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 6
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 8 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?
n = 8p = 0,5k = 5
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 242,25 e 254 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 242,25x2 = 254
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,04 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 13 elementi ha media 69 e deviazione standard s = 19. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 13x̄ = 69s = 1999%t(12) = 3,055
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 32. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?
σ = 32E = 590%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 122,4 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,4s = 4n = 16
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 200 contro H₁: μ < 200 viene eseguito con α = 0.05 su un campione di 25; la deviazione standard è nota e vale 7.5. In realtà la media è 197. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 200μ = 197σ = 7,5n = 25α = 0,05
1 − β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (21,5, 97). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(21,5, 97)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 12537 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·6 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,196 = €12 537,47
Risposta
PV = €12 537,47
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 14274 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 35 000/1,1 = 31 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 33 000/1,21 = 27 272,73
CF3/(1 + 0,1)3 = 27 000/1,331 = 20 285,50
CF4/(1 + 0,1)4 = 29 000/1,464 = 19 807,39
Sommali
NPV = €24 183,80
Risposta
NPV = €24 183,80
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 15,87 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 434,78
NPV(20%) = −1 944,44
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€925 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(8%) = €947,94, P(9%) = €899,34
YTM = 8,463%
Risposta
YTM = 8,463%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,225 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·3,5%·(1 − 0,3) = 8,225%
Risposta
WACC = 8,225%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,68 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (84 − 100)/20 = −0,8
Risposta
z = −0,8
11.Probabilità
Risposta: P = 0,6651
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Risposta
P = 0,6651
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2188
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8
Area compresa
P = Φ(0,8) − Φ(−1,55) = 0,7881 − 0,06057 = 0,7276
Risposta
P = 0,7276
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9868
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Standardizza
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Probabilità
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Risposta
P = 0,9868
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 52,9
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Margine di errore
E = 3,055·19/√13 = 16,1
Intervallo
69 ± 16,1 → [52,9, 85,1]
Risposta
limite inferiore = 52,9
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 111
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·32/5)² = 110,8
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 111
Risposta
n = 111
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Statistica test
t = (122,4 − 120)/1 = 2,4
Risposta
t = 2,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 63,87 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 200 − 1,645·1,5 = 197,5
z sotto la media vera
z = (197,5 − 197)/1,5 = 0,355
Potenza
potenza = P(Z < 0.355) = 63.87%
1 − β = 63,87%
Risposta
1 − β = 63,87%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9599
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 503/6 = 83,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2663
Coefficiente di determinazione
r² = 423²/(70·2663) = 0,9599
Risposta
r² = 0,9599
Circa il 95,99% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 4,019
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 646/6 = 107,7
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 771
Retta di regressione
b = 771/157,5 = 4,895
a = 107,7 − 4,895·24,5 = −12,27
ŷ = −12,27 + 4,895·x
Valore previsto
ŷ = −12,27 + 4,895·21,5 = 92,98
Residuo
e = 97 − 92,98 = 4,019
Risposta
e = 4,019
Il punto si trova sopra la retta.
Questo è materiale di esercitazione indipendente. ExamProblems non è affiliato né approvato dall’organizzazione che gestisce questo esame, e il nome dell’esame è usato solo per descrivere i contenuti. CFA® and Chartered Financial Analyst® sono marchi di CFA Institute, che non è affiliato a ExamProblems, non lo approva e non ne garantisce l’accuratezza.