Investi €20 000 a un tasso nominale del 5 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 9 anni.
PV = €20 0005% / 4n = 9
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €25 000 al 3% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €450 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €25 000A = €4503% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €9 500 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €6 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €9 500S = €6 000n = 5r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €36 000, €21 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 36 000CF2 = 21 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 6%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 6,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 11y0 = 6%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 7 anni e quota €925. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 7P = €925
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €4 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo delle azioni privilegiate del 7% e il costo del debito al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,7. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio è del 3% e il premio per il rischio di mercato è del 6%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,7D/E = 0,25T = 30%rf = 3%rm − rf = 6%
re = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 59, 18, 55, 43, 58.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 65?
μ = 70σ = 5x = 65
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 5 palline rosse e 6 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
5 / 6
P =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 10X − 3. Trova la deviazione standard σY di Y.
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 242 e 256 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 242x2 = 256
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 97,5 % dei dati (il 97,5° percentile).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 15 elementi ha media 32,5 e deviazione standard s = 9,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 15x̄ = 32,5s = 9,599%t(14) = 2,977
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 20. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?
σ = 20E = 0,595%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 498,8 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,8s = 5n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 0,5? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 8E = 0,599%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 31279 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0025/450 = 0,8611
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8611)/ln(1,002) = 59,89
Arrotonda a rate intere
59 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 60
Risposta
N = 60 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 2014 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
9 500·3,993 = 37 930,75
Valore attuale del valore residuo
6 000/1,469 = 4 083,50
NPV
NPV = −40 000 + 37 930,75 + 4 083,50 = €2 014,24
Risposta
NPV = €2 014,24
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 10,81 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 495,87
NPV(15%) = −2 438,56
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€925 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(8%) = €947,94, P(9%) = €899,34
YTM = 8,463%
Risposta
YTM = 8,463%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,891 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,7·(1 + 0,7·0,25) = 0,8225
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 0,8225·6% = 7,935%
Risposta
re = 7,935%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,21
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Risposta
P = 0,1587
11.Probabilità
Risposta: P = 0,1818
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818
Risposta
P = 0,1818
12.Probabilità
Risposta: σY = 12,85
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 1,5, Var(X) = 1,65, σX = 1,285
Trasformazione lineare
σY = |10|·1,285 = 12,85
Risposta
σY = 12,85
La media invece si sposta: E(Y) = 10·1,5 − 3 = 12.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,8301
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6
z₂ = (256 − 250)/5 = 1,2
Area compresa
P = Φ(1,2) − Φ(−1,6) = 0,8849 − 0,0548 = 0,8301
Risposta
P = 0,8301
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 129,4 punti
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Ritorno a x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 punti
Risposta
x = 129,4 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 7,302
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Margine di errore
E = 2,977·9,5/√15 = 7,302
Risposta
E = 7,302
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 6147
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·20/0,5)² = 6147
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 6147
Risposta
n = 6147
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,44
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Statistica test
t = (498,8 − 500)/0,8333 = −1,44
Risposta
t = −1,44
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 1699
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·8/0,5)² = 1699
Arrotonda per eccesso
n = 1699
Risposta
n = 1699
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9934
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 86/6 = 14,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Syy = Σ(y − ȳ)² = 343,3
Coefficiente di correlazione
r = 154/√(70·343,3) = 0,9934
Risposta
r = 0,9934
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 65,45
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 343/5 = 68,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63
Retta di regressione
b = 63/10 = 6,3
a = 68,6 − 6,3·3 = 49,7
ŷ = 49,7 + 6,3·x
Previsione
ŷ = 49,7 + 6,3·2,5 = 65,45
Risposta
ŷ = 65,45
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