Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €6 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €6 000g = 1,5%r = 7,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 7? Trova il debito residuo B.
P = €150 0004,2% / 12N = 360k = 84
B = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi, dura 7 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 12%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 7r = 12%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €8 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 7. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €8 000g = 4%n = 7r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 14 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 093 quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 14P = €1 093YTM = 6%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 17 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 152. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 152prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €32,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €16 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €0,90 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €32 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 24, 40, 58, 35, 36.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è superiore a 55?
μ = 60σ = 10x = 55
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 6 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 6
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 6 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 6p = 0,1
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,1922. Trova z con due decimali.
A = 0,1922
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 16 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 0,8 e deviazione standard 1,2. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.
n = 16d̄ = 0,8sd = 1,299%t(15) = 2,947
limite inferiore = mmHg
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 19. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?
σ = 19E = 1,590%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 40 pezzi ha lunghezza media 109,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 11 mm. Linea 2: un campione di 30 pezzi ha media 107,1 mm, deviazione standard nota 20 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 120 pazienti su 200 con il trattamento A guariscono, e 108 su 150 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 108n₂ = 150
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 100000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0035, N = 360
A = 150 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−360) = €733,53
Valore attuale delle rate rimanenti
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 84 = 276
B = 733,5·(1 − (1 + 0,0035)−276)/0,0035 = €129 677,95
Risposta
B = €129 677,95
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 13765 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,12−7)/0,12 = 4,564
Prezzo d’acquisto annualizzato
40 000/4,564 = 8 764,71
EAC
EAC = 8 764,71 + 5 000 = €13 764,71
Risposta
EAC = €13 764,71
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −6704 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,04)/(1,1))7 = 0,6753
PV = 8 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,6753) = 43 295,86
NPV
NPV = 43 295,86 − 50 000 = −€6 704,14
Risposta
NPV = −€6 704,14
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,001 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,06)−14 = €442,30
Cedola
C = (1093 − 442,30)/9,295 = €70,01
Tasso cedolare
c = 70,01/1000 = 7,001%
Risposta
c = 7,001%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 5,505 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1152 = 80·(1 − (1 + y)−4)/y + 1080/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 5%: €1 172,19
y = 6%: €1 132,67
YTC = 5,505%
Risposta
YTC = 5,505%
Il rendimento a scadenza è del 6,497%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,25 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·12% + 0,3333·5%·(1 − 0,25) = 9,25%
Risposta
WACC = 9,25%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,832 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 0,9·1,05 = €0,95
re = 0,945/32 + 0,05 = 7,953%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€32,00 = €32 000 000
V = €64 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,953% + 0,5·5%·(1 − 0,258) = 5,832%
Risposta
WACC = 5,832%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 12,36
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Risposta
P = 0,6915
11.Probabilità
Risposta: P = 0,6651
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Risposta
P = 0,6651
12.Probabilità
Risposta: P = 0,8857
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,96 = 0,5314
P(X = 1) = 6·0,1·0,95 = 0,3543
Sommale
P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857
Risposta
P = 0,8857
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 0,87
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,1922 = 0,8078
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,8078 dentro la tabella e leggi z.
z = 0,87
Risposta
z = 0,87
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7881
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standardizza
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Risposta
P = 0,7881
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −0,0841 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 15, t = 2,947
Margine di errore
E = 2,947·1,2/√16 = 0,8841
Intervallo
0,8 ± 0,8841 → [−0,0841, 1,684]
Risposta
limite inferiore = −0,0841 mmHg
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 435
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·19/1,5)² = 434,2
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 435
Risposta
n = 435
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 0,5934
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(11²/40 + 20²/30) = √16,36 = 4,045
Statistica test
z = (109,5 − 107,1)/4,045 = 0,5934
Risposta
z = 0,5934
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −2,331
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 120/200 = 0,6
p̂₂ = 108/150 = 0,72
p̂ = 228/350 = 0,6514
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,6514·0,3486·(1/200 + 1/150)) = 0,05147
Statistica test
z = (0,6 − 0,72)/0,05147 = −2,331
Risposta
z = −2,331
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,4464
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 349/5 = 69,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 98,8
Coefficiente di determinazione
r² = 21²/(10·98,8) = 0,4464
Risposta
r² = 0,4464
Circa il 44,64% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 14,48
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 73/6 = 12,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81
Retta di regressione
b = 81/70 = 1,157
a = 12,17 − 1,157·7 = 4,067
ŷ = 4,067 + 1,157·x
Previsione
ŷ = 4,067 + 1,157·9 = 14,48
Risposta
ŷ = 14,48
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