Ti servono €10 000 tra 4 anni. Un conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0004,8% / 4n = 4
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €20 000 tra 11 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €20 0002,4% / 12N = 132
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €20 000 oggi, dura 4 anni e costa €1 500 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 6%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €20 000M = €1 500n = 4r = 6%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €26 500, €28 500, €29 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 26 500CF2 = 28 500CF3 = 29 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 3 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 3y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Viene venduta a €873. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 6% (2×)n = 9P = €873
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €15 000 000 e un costo del capitale proprio del 10%. Il suo debito è costituito da 4 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 10 anni alla scadenza) quotate €923 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 38, 53, 23, 49, 36.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 37,5.
μ = 60σ = 15x = 37,5
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 3 €. Si vincono 6 € con probabilità 0,15 e 150 € con probabilità 0,05; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €3€6: p = 0,15€150: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 62 e 80,5 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 65σ = 10x1 = 62x2 = 80,5
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 10 elementi ha media 45,5 e deviazione standard s = 9. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 10x̄ = 45,5s = 990%t(9) = 1,833
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 25 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 11,6 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 24, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 12,401 e il 2,5% sopra 39,364.
n = 25s = 11,6 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 500; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 48. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 509,36. Verifica H₀: μ = 500 contro H₁: μ ≠ 500. Trova il p-value p.
μ₀ = 500σ = 48n = 144x̄ = 509,36H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 16 misure ha media 197,4. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 197,4σ = 4n = 1690%
L =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 5.
n = 6x = 5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 8263 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·4 = 16
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,21 = €8 262,51
Risposta
PV = €8 262,51
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 132,5 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,06−4)/0,06 = 3,465
Prezzo d’acquisto annualizzato
20 000/3,465 = 5 771,83
EAC
EAC = 5 771,83 + 1 500 = €7 271,83
Risposta
EAC = €7 271,83
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 48,03 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(45%) = 1 507,65
NPV(50%) = −925,93
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, N = 18
Risolvi numericamente
i = 4,004% per semestre
YTM
YTM = 2·4,004% = 8,007%
Risposta
YTM = 8,007%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,875 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (37,5 − 60)/15 = −1,5
Risposta
z = −1,5
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 0,6475
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Varianza
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Risposta
Var(X) = 0,6475
12.Probabilità
Risposta: E(G) = 5,4 €
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 3 (p = 0,15), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,8)
Valore atteso
E(G) = 3·0,15 + 147·0,05 − 3·0,8 = 5,4 €
Risposta
E(G) = 5,4 €
Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,5573
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3
z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55
Area compresa
P = Φ(1,55) − Φ(−0,3) = 0,9394 − 0,3821 = 0,5573
Risposta
P = 0,5573
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 551,3 h
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Ritorno a x
x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h
Risposta
x = 551,26 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 40,28
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Margine di errore
E = 1,833·9/√10 = 5,217
Intervallo
45,5 ± 5,217 → [40,28, 50,72]
Risposta
limite inferiore = 40,28
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 16,14 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 24·11,6² = 3229
Limiti per σ²
3229/39,364 = 82,04
3229/12,401 = 260,4
Limite per σ
σ = √260,4 = 16,14 µm
Risposta
σ = 16,14 µm
Intervallo al 95% per σ: [9,058, 16,14] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,01928
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 48/√144 = 4
z = (509,36 − 500)/4 = 2,34
Area della coda
Φ(2,34) = 0,9904
1 − Φ(2,34) = 0,0096
p-value
p = 2·0,0096 = 0,01928
Risposta
p = 0,01928
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 195,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·4/√16 = 1,645
Limite dell'intervallo
L = 197,4 − 1,645 = 195,8
Risposta
L = 195,8
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9125
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 328/6 = 54,67
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Syy = Σ(y − ȳ)² = 553,3
Coefficiente di determinazione
r² = 94²/(17,5·553,3) = 0,9125
Risposta
r² = 0,9125
Circa il 91,25% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 11,89
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 96/6 = 16
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Retta di regressione
b = 144/70 = 2,057
a = 16 − 2,057·7 = 1,6
ŷ = 1,6 + 2,057·x
Previsione
ŷ = 1,6 + 2,057·5 = 11,89
Risposta
ŷ = 11,89
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