Investi €3 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 8 anni.
PV = €3 0003,6% / 4n = 8
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 10 anni. Il conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €503% / 12N = 120
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €9 000, €14 000, €8 000, €13 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €7 500, €5 500, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 5 500CF3 = 7 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 4 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 4y0 = 7%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 5 anni e quota €1 065. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 5P = €1 065
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €10 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €9,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 5,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 5,5%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 37, 41, 33, 52, 31.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 124?
μ = 100σ = 12x = 124
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,2, 0,35, 0,05
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 3X − 3. Trova la deviazione standard σY di Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15Y = 3X − 3
σY =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 30,2 e 35 min? Dai P come numero decimale.
μ = 32σ = 6x1 = 30,2x2 = 35
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).
μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 50 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 6,2. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 90% calcolato dagli stessi dati?
95%n₁ = 50E₁ = 6,290%
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 22. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 22E = 395%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 77,63 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,63s = 15n = 16
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ > 80 viene eseguito con α = 0,05 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 5. In realtà la media è 80,55. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 80μ = 80,55σ = 5n = 100α = 0,05
β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 3996 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 9 000/1,06 = 8 490,57
CF2/(1 + 0,06)2 = 14 000/1,124 = 12 459,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 8 000/1,191 = 6 716,95
CF4/(1 + 0,06)4 = 13 000/1,262 = 10 297,22
Sommali
NPV = €7 964,69
Risposta
NPV = €7 964,69
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 45,71 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(45%) = 84,46
NPV(50%) = −481,48
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 45 + 5·84,46/(84,46 − (−481,48)) = 45,75%
esatto: NPV(45,71%) = 0 → IRR = 45,71%
Risposta
IRR = 45,71%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 5,644 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 065 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 089,04, P(5%) = €1 043,29
YTM = 4,519%
Risposta
YTM = 4,519%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,08 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 2
Tavola della normale standard
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 1,788
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,5, Var(X) = 4,35, σX = 2,086
Trasformazione lineare
σY = |3|·2,086 = 6,257
Risposta
σY = 6,257
La media invece si sposta: E(Y) = 3·2,5 − 3 = 4,5.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,3094
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3
z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5
Area compresa
P = Φ(0,5) − Φ(−0,3) = 0,6915 − 0,3821 = 0,3094
Risposta
P = 0,3094
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 246,6 g
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Ritorno a x
x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g
Risposta
x = 246,63 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 5,204
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393
Nuovo margine
E₂ = 6,2·0,8393 = 5,204
Risposta
E₂ = 5,204
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 207
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·22/3)² = 206,6
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 207
Risposta
n = 207
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,7013
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Statistica test
t = (77,63 − 75)/3,75 = 0,7013
Risposta
t = 0,7013
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 70,71 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 80 + 1,645·0,5 = 80,82
z sotto la media vera
z = (80,82 − 80,55)/0,5 = 0,545
Errore di secondo tipo
potenza = P(Z > 0,545) = 29,29%
β = 100% − 29,29% = 70,71%
Risposta
β = 70,71%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9408
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 518/5 = 103,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1505
Coefficiente di determinazione
r² = 238²/(40·1505) = 0,9408
Risposta
r² = 0,9408
Circa il 94,08% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 20,88
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 116/6 = 19,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Retta di regressione
b = −27/17,5 = −1,543
a = 19,33 − (−1,543)·3,5 = 24,73
ŷ = 24,73 − 1,543·x
Previsione
ŷ = 24,73 + (−1,543)·2,5 = 20,88
Risposta
ŷ = 20,88
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