Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 25%, capitalizzato mensilmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 25%m = 12
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €6 000 all’inizio di ogni anno per 29 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 3% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 29? Trova FV.
A = €6 000i = 3%n = 29
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €21 000, €24 000, €35 000, €23 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 000, €11 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 8 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3% al 2%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4%n = 8y1 = 3%y2 = 2%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 6 anni e quota €925. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 6P = €925
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,9 ha un rendimento richiesto del 9,3%. Il tasso privo di rischio è del 3%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,9re = 9,3%rf = 3%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €17,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €26 300 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,80 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €26 300 000 e un costo al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
X è normale con media 250 g e deviazione standard 4 g; Y è indipendente e normale con media 500 g e deviazione standard 9 g. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 754,9 g. Arrotonda z a due decimali.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754,9 g
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Le altezze X degli uomini e Y delle donne di un gruppo sono indipendenti e normali: X ha media 180 cm e deviazione standard 10 cm, Y ha media 170 cm e deviazione standard 12 cm. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 13 elementi ha media 117 e deviazione standard s = 7,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 13x̄ = 117s = 7,599%t(12) = 3,055
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 39. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?
σ = 39E = 2,599%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 80; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 20. Un campione casuale di 64 osservazioni ha media 83,4. Verifica H₀: μ = 80 contro H₁: μ > 80. Trova il p-value p.
μ₀ = 80σ = 20n = 64x̄ = 83,4H₁: μ > μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 36 misure ha media 492,3. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.
x̄ = 492,3σ = 20n = 3695%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 28,07 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,25/12 = 0,02083
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,02083)12 − 1 = 1,281 − 1 = 28,07%
Risposta
EAR = 28,07%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 279452 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,03)29 − 1)/0,03 = 45,22
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 6 000·45,22·1,03 = €279 452,49
Risposta
FV = €279 452,49
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 13776 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 21 000/1,06 = 19 811,32
CF2/(1 + 0,06)2 = 24 000/1,124 = 21 359,91
CF3/(1 + 0,06)3 = 35 000/1,191 = 29 386,67
CF4/(1 + 0,06)4 = 23 000/1,262 = 18 218,15
Sommali
NPV = €13 776,06
Risposta
NPV = €13 776,06
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 5,648 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 215,42
NPV(10%) = −1 363,64
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€925 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(6%) = €950,83, P(7%) = €904,67
YTM = 6,552%
Risposta
YTM = 6,552%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 10 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (9,3% − 3%)/0,9 = 7%
Rendimento di mercato
rm = 3% + 7% = 10%
Risposta
rm = 10%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,97 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (58 − 50)/20 = 0,4
Risposta
z = 0,4
11.Probabilità
Risposta: P = 0,2727
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727
Risposta
P = 0,2727
12.Probabilità
Risposta: σY = 2,304
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,65, Var(X) = 1,327, σX = 1,152
Trasformazione lineare
σY = |−2|·1,152 = 2,304
Risposta
σY = 2,304
La media invece si sposta: E(Y) = −2·2,65 + 10 = 4,7.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,3085
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della somma
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standardizza
z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5
Coda superiore
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7389
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standardizza
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Risposta
P = 0,7389
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 6,355
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Margine di errore
E = 3,055·7,5/√13 = 6,355
Risposta
E = 6,355
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 1615
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·39/2,5)² = 1615
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 1615
Risposta
n = 1615
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,08692
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5
z = (83,4 − 80)/2,5 = 1,36
Area della coda
Φ(1,36) = 0,9131
1 − Φ(1,36) = 0,0869
p-value
p = 0,08692
Risposta
p = 0,08692
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 498,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,96·20/√36 = 6,533
Limite dell'intervallo
U = 492,3 + 6,533 = 498,8
Risposta
U = 498,8
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,8552
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 121/5 = 24,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 26,8
Coefficiente di correlazione
r = −14/√(10·26,8) = −0,8552
Risposta
r = −0,8552
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 15,05
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 88/5 = 17,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102
Retta di regressione
b = 102/40 = 2,55
a = 17,6 − 2,55·6 = 2,3
ŷ = 2,3 + 2,55·x
Previsione
ŷ = 2,3 + 2,55·5 = 15,05
Risposta
ŷ = 15,05
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