Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 19,5%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 19,5%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €200 alla fine di ogni mese per 9 anni. Il conto rende il 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2005,4% / 12N = 108
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €100 000 oggi. Genera €6 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 11%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 4%r = 11%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €50 000 rende €14 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €50 000CF = €14 000n = 5
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 8%n = 7
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 5 anni e quota €1 040. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 5P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €57,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 10%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 47, 14, 52, 14, 36, 43.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 66.
μ = 50σ = 8x = 66
z =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 5 palline rosse e 4 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
5 / 4
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 10p = 0,25
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 57 e 70,5 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 65σ = 10x1 = 57x2 = 70,5
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 25% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 60 telefoni, media 54 h, deviazione standard nota 7 h. Modello 2: 80 telefoni, media 39,5 h, deviazione standard nota 17 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 76,5 kg, deviazione standard 5,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 26 parcelle, media 77 kg, deviazione standard 5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 194,8 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 194,8s = 8n = 16
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1? La deviazione standard è 5. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 5E = 199%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 20,45 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,195/2 = 0,0975
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0975)2 − 1 = 1,205 − 1 = 20,45%
Risposta
EAR = 20,45%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 27735 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 6 000/(0,11 − 0,04) = 85 714,29
NPV
NPV = 85 714,29 − 100 000 = −€14 285,71
Risposta
NPV = −€14 285,71
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 12,38 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−5)/i = 50 000/14 000 = 3,571
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 12%: 3,605
i = 13%: 3,517
IRR = 12,38%
Risposta
IRR = 12,38%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 735,9 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,04, N = 14
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €158,45
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,5775 = €577,48
Prezzo
P = €735,92
Risposta
P = €735,92
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 6,049 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(6%) = €1 042,12, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,049%
Risposta
YTM = 6,049%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,16 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·6%·(1 − 0,28) = 9,16%
Risposta
WACC = 9,16%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 12,86 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (66 − 50)/8 = 2
Risposta
z = 2
11.Probabilità
Risposta: P = 0,2778
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778
Risposta
P = 0,2778
12.Probabilità
Risposta: P = 0,244
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,7510 = 0,05631
P(X = 1) = 10·0,25·0,759 = 0,1877
Sommale
P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244
Risposta
P = 0,244
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,497
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8
z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55
Area compresa
P = Φ(0,55) − Φ(−0,8) = 0,7088 − 0,2119 = 0,497
Risposta
P = 0,497
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 527 h
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,75
z dalla tabella
z ≈ 0,67
Di nuovo nelle unità originali
x = 500 + 0,67·40 = 527 h
Risposta
x = 527 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 11,04 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 54 − 39,5 = 14,5
Errore standard
SE = √(7²/60 + 17²/80) = 2,105
Margine di errore
E = 1,645·2,105 = 3,462
Intervallo
14,5 ± 3,462 → [11,04, 17,96]
Risposta
limite inferiore = 11,04 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −5,565 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (4·5,5² + 25·5²)/29 = 25,72
sp = 5,072
Margine di errore
E = 2,045·5,072·√(1/5 + 1/26) = 5,065
Intervallo
−0,5 ± 5,065 → [−5,565, 4,565]
Risposta
limite inferiore = −5,565 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,6
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Statistica test
t = (194,8 − 200)/2 = −2,6
Risposta
t = −2,6
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 166
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·5/1)² = 165,9
Arrotonda per eccesso
n = 166
Risposta
n = 166
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9899
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 122/6 = 20,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148
Syy = Σ(y − ȳ)² = 319,3
Coefficiente di correlazione
r = 148/√(70·319,3) = 0,9899
Risposta
r = 0,9899
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 26,3
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Retta di regressione
b = −26/10 = −2,6
a = 22,4 − (−2,6)·3 = 30,2
ŷ = 30,2 − 2,6·x
Previsione
ŷ = 30,2 + (−2,6)·1,5 = 26,3
Risposta
ŷ = 26,3
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