Ti servono €5 000 tra 8 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0004% / 4n = 8
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 17? Trova il debito residuo B.
P = €200 0003,6% / 12N = 360k = 204
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €28 000, €37 000, €31 000, €32 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €80 000 rende €15 000 alla fine di ogni anno per 8 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €80 000CF = €15 000n = 8
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 10 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 2,5% al 1,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4%n = 10y1 = 2,5%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 5 anni e quota €960. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 5P = €960
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
E = €6 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 4%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €11,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 3,5%rm = 9%rd = 7%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 24, 37, 28, 45, 33, 19, 21.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 46.
μ = 50σ = 5x = 46
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,2, 0,1, 0,2, 0,35
σ =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 7p = 0,2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 172,75 e 186,4 cm? Dai P come numero decimale.
μ = 178σ = 7x1 = 172,75x2 = 186,4
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 10 % dei dati (il 10° percentile).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 109 h, deviazione standard nota 12 h. Modello 2: 40 telefoni, media 102 h, deviazione standard nota 14 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 11. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 11E = 299%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 70,6 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 70,6s = 12n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 3 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 19. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (25,5, 84). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(25,5, 84)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 3637 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·8 = 32
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,375 = €3 636,52
Risposta
PV = €3 636,52
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 113148 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,003, N = 360
A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−360) = €909,29
Valore attuale delle rate rimanenti
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 204 = 156
B = 909,3·(1 − (1 + 0,003)−156)/0,003 = €113 148,37
Risposta
B = €113 148,37
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 21898 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 28 000/1,12 = 25 000,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 37 000/1,254 = 29 496,17
CF3/(1 + 0,12)3 = 31 000/1,405 = 22 065,19
CF4/(1 + 0,12)4 = 32 000/1,574 = 20 336,58
Sommali
NPV = €21 897,94
Risposta
NPV = €21 897,94
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 10,01 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−8)/i = 80 000/15 000 = 5,333
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 10%: 5,335
i = 11%: 5,146
IRR = 10,01%
Risposta
IRR = 10,01%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 99,27 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€960 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €957,88
YTM = 5,948%
Risposta
YTM = 5,948%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,55 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·9% + 0,25·4%·(1 − 0,2) = 7,55%
Risposta
WACC = 7,55%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,195 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (46 − 50)/5 = −0,8
Risposta
z = −0,8
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,497
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,87 = 0,2097
P(X = 1) = 7·0,2·0,86 = 0,367
Sommale
P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767
Risposta
P = 0,5767
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,6583
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75
z₂ = (186,4 − 178)/7 = 1,2
Area compresa
P = Φ(1,2) − Φ(−0,75) = 0,8849 − 0,2266 = 0,6583
Risposta
P = 0,6583
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 52,18 punti
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Ritorno a x
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 punti
Risposta
x = 52,18 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 2,742 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 109 − 102 = 7
Errore standard
SE = √(12²/80 + 14²/40) = 2,588
Margine di errore
E = 1,645·2,588 = 4,258
Intervallo
7 ± 4,258 → [2,742, 11,26]
Risposta
limite inferiore = 2,742 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 201
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·11/2)² = 200,7
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 201
Risposta
n = 201
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,2
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Statistica test
t = (70,6 − 75)/2 = −2,2
Risposta
t = −2,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 523
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((2,326 + 1,282)·19/3)² = 522,2
Arrotonda per eccesso
n = 523
Risposta
n = 523
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9321
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 60,83
Coefficiente di determinazione
r² = −31,5²/(17,5·60,83) = 0,9321
Risposta
r² = 0,9321
Circa il 93,21% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −5,2
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 359/5 = 71,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 348
Retta di regressione
b = 348/90 = 3,867
a = 71,8 − 3,867·21 = −9,4
ŷ = −9,4 + 3,867·x
Valore previsto
ŷ = −9,4 + 3,867·25,5 = 89,2
Residuo
e = 84 − 89,2 = −5,2
Risposta
e = −5,2
Il punto si trova sotto la retta.
Questo è materiale di esercitazione indipendente. ExamProblems non è affiliato né approvato dall’organizzazione che gestisce questo esame, e il nome dell’esame è usato solo per descrivere i contenuti. CFA® and Chartered Financial Analyst® sono marchi di CFA Institute, che non è affiliato a ExamProblems, non lo approva e non ne garantisce l’accuratezza.