Investi €2 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €2 0003,6% / 4n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €200 0002,4% / 12N = 300
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €10 000, €8 000, €13 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €28 000, €16 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 16 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 6%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 10y0 = 6%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 10 anni e quota €810. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 10P = €810
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €41,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 2,5%rm = 9%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 46, 52, 12, 53, 25, 21, 42.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 158?
μ = 170σ = 8x = 158
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 8 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 8p = 0,5
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 166,8 e 181,85 cm? Dai P come numero decimale.
μ = 178σ = 7x1 = 166,8x2 = 181,85
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).
μ = 100σ = 15P = 90%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 elementi ha media 18,5 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 16x̄ = 18,5s = 12,599%t(15) = 2,947
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 21 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 6,3 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 20, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 9,591 e il 2,5% sopra 34,17.
n = 21s = 6,3 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 98,8 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,8s = 8n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 200 contro H₁: μ > 200 viene eseguito con α = 0,10 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 5. In realtà la media è 200,8. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 200μ = 200,8σ = 5n = 100α = 0,10
β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (4,5, 69). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 69)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2570 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·25 = 300
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,5491
A = 200 000·0,002/(1 − 0,5491) = €887,19
Risposta
A = €887,19
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −4054 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 10 000/1,09 = 9 174,31
CF2/(1 + 0,09)2 = 8 000/1,188 = 6 733,44
CF3/(1 + 0,09)3 = 13 000/1,295 = 10 038,39
Sommali
NPV = €−4 053,86
Risposta
NPV = €−4 053,86
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 8,144 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 1 632,65
NPV(10%) = −909,09
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€810 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Risolvi numericamente
P(5%) = €845,57, P(6%) = €779,20
YTM = 5,524%
Risposta
YTM = 5,524%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,19 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·13% + 0,1667·3%·(1 − 0,28) = 11,19%
Risposta
WACC = 11,19%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 13,17 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,5
Tavola della normale standard
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Risposta
P = 0,06681
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 4,11
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,15 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,25 = 3,3
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,15 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,25 = 15
Varianza
Var(X) = 15 − 3,3² = 4,11
Risposta
Var(X) = 4,11
12.Probabilità
Risposta: P = 0,03516
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,58 = 0,003906
P(X = 1) = 8·0,5·0,57 = 0,03125
Sommale
P = 0,003906 + 0,03125 = 0,03516
Risposta
P = 0,03516
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,654
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6
z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55
Area compresa
P = Φ(0,55) − Φ(−1,6) = 0,7088 − 0,0548 = 0,654
Risposta
P = 0,654
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 119,2 punti
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Ritorno a x
x = 100 + 1,282·15 = 119,22 punti
Risposta
x = 119,22 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 9,209
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 15, t = 2,947
Margine di errore
E = 2,947·12,5/√16 = 9,209
Risposta
E = 9,209
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 4,82 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 20·6,3² = 793,8
Limiti per σ²
793,8/34,17 = 23,23
793,8/9,591 = 82,77
Limite per σ
σ = √23,23 = 4,82 µm
Risposta
σ = 4,82 µm
Intervallo al 95% per σ: [4,82, 9,098] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,9
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Statistica test
t = (98,8 − 100)/1,333 = −0,9
Risposta
t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 37,52 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 200 + 1,282·0,5 = 200,6
z sotto la media vera
z = (200,6 − 200,8)/0,5 = −0,318
Errore di secondo tipo
potenza = P(Z > −0,318) = 62,48%
β = 100% − 62,48% = 37,52%
Risposta
β = 37,52%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9494
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 199/5 = 39,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94,8
Coefficiente di determinazione
r² = 60²/(40·94,8) = 0,9494
Risposta
r² = 0,9494
Circa il 94,94% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 5,348
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 355/6 = 59,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78,5
Retta di regressione
b = 78,5/17,5 = 4,486
a = 59,17 − 4,486·3,5 = 43,47
ŷ = 43,47 + 4,486·x
Valore previsto
ŷ = 43,47 + 4,486·4,5 = 63,65
Residuo
e = 69 − 63,65 = 5,348
Risposta
e = 5,348
Il punto si trova sopra la retta.
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