Una rendita paga €500 alla fine di ogni anno per 10 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €500i = 8%n = 10
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €8 000 al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €150 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €8 000A = €1504,8% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €12 000, €6 000, €11 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €30 000 e rende €17 000, €11 500, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €35 000 e rende €10 000, €13 500, €18 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 6%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 7y0 = 6%y1 = 7%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 8 anni e quota €1 100. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 8P = €1 100
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €4 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €13,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 8,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 49, 38, 17, 13, 34, 19, 43.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 44?
μ = 60σ = 20x = 44
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 1 risposte corrette?
n = 5p = 0,2k = 1
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 244,25 e 259,25 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 259,25
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,05 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 12 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 5,5 e deviazione standard 6,2. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.
n = 12d̄ = 5,5sd = 6,299%t(11) = 3,106
limite superiore = mmHg
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Uno studio pilota indica che circa 0,3 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,03?
p ≈ 0,3E = 0,0390%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 5 studenti, punteggio medio 63, deviazione standard 9. Gruppo 2: 9 studenti, punteggio medio 60,4, deviazione standard 7. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 5x̄₁ = 63s₁ = 9n₂ = 9x̄₂ = 60,4s₂ = 7
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 20. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 20E = 1,590%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 24?
n = 6ŷ = 24
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 3355 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4632)/0,08 = 6,71
Valore attuale
PV = 500·6,71 = €3 355,04
Risposta
PV = €3 355,04
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 61 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,004/150 = 0,7867
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,7867)/ln(1,004) = 60,11
Arrotonda a rate intere
60 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 61
Risposta
N = 61 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −5447 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 12 000/1,09 = 11 009,17
CF2/(1 + 0,09)2 = 6 000/1,188 = 5 050,08
CF3/(1 + 0,09)3 = 11 000/1,295 = 8 494,02
Sommali
NPV = €−5 446,73
Risposta
NPV = €−5 446,73
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 3,597 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 10 000 − 17 000 = −7 000
ΔCF2 = 13 500 − 11 500 = 2 000
ΔCF3 = 18 000 − 7 000 = 11 000
TIR della differenza
NPVΔ(3%) = 155,63
NPVΔ(4%) = −102,70
r* = 3,597%
Risposta
r* = 3,597%
Verifica: al 3,597% entrambi i VAN valgono €3 420,69.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 0,9739 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 100 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 134,65, P(5%) = €1 064,63
YTM = 4,485%
Risposta
YTM = 4,485%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,8
Tavola della normale standard
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Risposta
P = 0,2119
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 0,7
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Varianza
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Risposta
Var(X) = 0,7
12.Probabilità
Risposta: P = 0,4096
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 1) = 5·0,21·0,84 = 5·0,2·0,4096 = 0,4096
Risposta
P = 0,4096
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,8428
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85
Area compresa
P = Φ(1,85) − Φ(−1,15) = 0,9678 − 0,1251 = 0,8428
Risposta
P = 0,8428
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9772
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm
Standardizza
z = (0 − 0,05)/0,025 = −2
Probabilità
P = 1 − Φ(−2) = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 11,06 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 11, t = 3,106
Margine di errore
E = 3,106·6,2/√12 = 5,559
Intervallo
5,5 ± 5,559 → [−0,05907, 11,06]
Risposta
limite superiore = 11,06 mmHg
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 632
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 1,645²·0,3·0,7/0,03² = 631,4
Arrotonda per eccesso
n = 632
Risposta
n = 632
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,6035
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (4·9² + 8·7²)/12 = 59,67
sp = 7,724
Errore standard
SE = 7,724·√(1/5 + 1/9) = 4,308
Statistica test
t = (63 − 60,4)/4,308 = 0,6035
Risposta
t = 0,6035
Con df = 12, il valore critico bilaterale al 5% è 2,179; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 482
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,645·20/1,5)² = 481,1
Arrotonda per eccesso
n = 482
Risposta
n = 482
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9406
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 374/6 = 62,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Syy = Σ(y − ȳ)² = 281,3
Coefficiente di correlazione
r = 66/√(17,5·281,3) = 0,9406
Risposta
r = 0,9406
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 5,022
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 193/6 = 32,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 289
Retta di regressione
b = 289/70 = 4,129
a = 32,17 − 4,129·7 = 3,267
ŷ = 3,267 + 4,129·x
Risolvi per x
x = (24 − 3,267)/4,129 = 5,022
Risposta
x = 5,022
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