Investi €2 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 11 anni.
PV = €2 000r = 8%t = 11
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €25 0004,8% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €20 000 oggi e rende €7 000 alla fine di ogni anno per 4 anni. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €16 500, €23 000, €27 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 16 500CF2 = 23 000CF3 = 27 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 15 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3% al 4%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 5%n = 15y1 = 3%y2 = 4%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 3 anni e quota €975. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,25. Il suo costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
D/E = 0,25re = 11%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €5 000 000 e un costo del capitale proprio del 14%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 5%, 11 anni alla scadenza) quotate €1 135 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 43, 35, 54, 60, 58, 18, 34.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 120?
μ = 100σ = 20x = 120
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 6 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 6
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 8 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 8p = 0,4
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 65 e 73 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 65σ = 10x1 = 65x2 = 73
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 5% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 65 puntiσ = 10 punti5%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 94 h, deviazione standard nota 18 h. Modello 2: 60 telefoni, media 108 h, deviazione standard nota 16 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 38. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?
σ = 38E = 490%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 72,56 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,56s = 10n = 81
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 5 unità con una potenza del 95%. La deviazione standard è 25. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 5Σx = 15Σy = 108Σx² = 55Σy² = 2362Σxy = 311
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4822 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,08·11 = 0,88
e0,88 = 2,411
Valore futuro
FV = 2 000·2,411 = €4 821,80
Risposta
FV = €4 821,80
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 469,5 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,787
A = 25 000·0,004/(1 − 0,787) = €469,49
Risposta
A = €469,49
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,542 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 7 000/1,1 = 6 363,64 → Σ = 6 363,64
anno 2: 7 000/1,21 = 5 785,12 → Σ = 12 148,76
anno 3: 7 000/1,331 = 5 259,20 → Σ = 17 407,96
anno 4: 7 000/1,464 = 4 781,09 → Σ = 22 189,06
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 2 592,04/4 781,09 = 3,542
Risposta
DPB = 3,542 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,857 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 27,68 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 1 744,00
NPV(30%) = −1 408,74
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€975 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €972,77
YTM = 4,917%
Risposta
YTM = 4,917%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,29 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·11% + 0,2·3,5%·(1 − 0,3) = 9,29%
Risposta
WACC = 9,29%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,44 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1
Tavola della normale standard
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
11.Probabilità
Risposta: P = 0,6651
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Risposta
P = 0,6651
12.Probabilità
Risposta: P = 0,1064
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958
Sommale
P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064
Risposta
P = 0,1064
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,2881
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (65 − 65)/10 = 0
z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8
Area compresa
P = Φ(0,8) − Φ(0) = 0,7881 − 0,5 = 0,2881
Risposta
P = 0,2881
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 48,6 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,05
z dalla tabella
z ≈ −1,64
Di nuovo nelle unità originali
x = 65 − 1,64·10 = 48,6 punti
Risposta
x = 48,6 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −24 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 94 − 108 = −14
Errore standard
SE = √(18²/30 + 16²/60) = 3,882
Margine di errore
E = 2,576·3,882 = 9,999
Intervallo
−14 ± 9,999 → [−24, −4,001]
Risposta
limite inferiore = −24 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 245
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·38/4)² = 244,2
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 245
Risposta
n = 245
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,196
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Statistica test
t = (72,56 − 75)/1,111 = −2,196
Risposta
t = −2,196
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 395
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((2,326 + 1,645)·25/5)² = 394,2
Arrotonda per eccesso
n = 395
Risposta
n = 395
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,7608
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 311 − 15·108/5 = −13
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2362 − 108²/5 = 29,2
Coefficiente di correlazione
r = −13/√(10·29,2) = −0,7608
Risposta
r = −0,7608
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 23,8
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 131/6 = 21,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34,5
Retta di regressione
b = −34,5/17,5 = −1,971
a = 21,83 − (−1,971)·3,5 = 28,73
ŷ = 28,73 − 1,971·x
Previsione
ŷ = 28,73 + (−1,971)·2,5 = 23,8
Risposta
ŷ = 23,8
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