Ti servono €20 000 tra 3 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0004% / 4n = 3
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 9? Trova il debito residuo B.
P = €200 0004,8% / 12N = 240k = 108
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €10 000, €7 000, €10 000, €4 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €40 000 rende €11 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €40 000CF = €11 000n = 5
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 7%n = 4
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 4 anni e quota €965. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €1 000 000. Il suo WACC è del 9,53%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €11,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 7,5%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 26, 42, 37, 51, 31, 38, 10.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 180?
μ = 170σ = 10x = 180
P =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 11? L'ordine non conta.
n = 11k = 2
N =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 30 € con probabilità 0,3 e 500 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €10€30: p = 0,3€500: p = 0,02
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
X è normale con media 120 mm e deviazione standard 0,3 mm; Y è indipendente e normale con media 80 mm e deviazione standard 0,4 mm. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 200,4 mm. Arrotonda z a due decimali.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,4 mm
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 60 telefoni, media 41 h, deviazione standard nota 15 h. Modello 2: 40 telefoni, media 52,5 h, deviazione standard nota 8 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
I diametri di 25 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 1,9 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 24, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 12,401 e il 2,5% sopra 39,364.
n = 25s = 1,9 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 100; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 15. Un campione casuale di 100 osservazioni ha media 96,28. Verifica H₀: μ = 100 contro H₁: μ < 100. Trova il p-value p.
μ₀ = 100σ = 15n = 100x̄ = 96,28H₁: μ < μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 120 pazienti su 200 con il trattamento A guariscono, e 72 su 150 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 72n₂ = 150
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 26?
n = 5ŷ = 26
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 17749 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·3 = 12
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,127 = €17 748,98
Risposta
PV = €17 748,98
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 132905 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 108 = 132
B = 1298·(1 − (1 + 0,004)−132)/0,004 = €132 904,92
Risposta
B = €132 904,92
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 5121 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 10 000/1,1 = 9 090,91
CF2/(1 + 0,1)2 = 7 000/1,21 = 5 785,12
CF3/(1 + 0,1)3 = 10 000/1,331 = 7 513,15
CF4/(1 + 0,1)4 = 4 000/1,464 = 2 732,05
Sommali
NPV = €5 121,23
Risposta
NPV = €5 121,23
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 11,65 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−5)/i = 40 000/11 000 = 3,636
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 11%: 3,696
i = 12%: 3,605
IRR = 11,65%
Risposta
IRR = 11,65%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1034 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,035, N = 8
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,7594)/0,035 = €274,96
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7594 = €759,41
Prezzo
P = €1 034,37
Risposta
P = €1 034,37
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,058 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€965 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(8%) = €966,88, P(9%) = €935,21
YTM = 8,058%
Risposta
YTM = 8,058%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 10 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
Parte del debito nel WACC
0,09091·6%·(1 − 0,2) = 0,4364%
Costo del capitale proprio
re = (9,53% − 0,4364%)/0,9091 = 10%
Risposta
re = 10%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,793 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1
Tavola della normale standard
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
11.Probabilità
Risposta: N = 55
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Risposta
N = 55
12.Probabilità
Risposta: E(G) = 9 €
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 20 (p = 0,3), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,68)
Valore atteso
E(G) = 20·0,3 + 490·0,02 − 10·0,68 = 9 €
Risposta
E(G) = 9 €
Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,2119
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della somma
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standardizza
z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8
Coda superiore
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Risposta
P = 0,2119
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 245,8 g
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Ritorno a x
x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g
Risposta
x = 245,79 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −17,46 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 41 − 52,5 = −11,5
Errore standard
SE = √(15²/60 + 8²/40) = 2,313
Margine di errore
E = 2,576·2,313 = 5,958
Intervallo
−11,5 ± 5,958 → [−17,46, −5,542]
Risposta
limite inferiore = −17,46 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 2,643 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 24·1,9² = 86,64
Limiti per σ²
86,64/39,364 = 2,201
86,64/12,401 = 6,987
Limite per σ
σ = √6,987 = 2,643 µm
Risposta
σ = 2,643 µm
Intervallo al 95% per σ: [1,484, 2,643] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,006569
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5
z = (96,28 − 100)/1,5 = −2,48
Area della coda
Φ(2,48) = 0,9934
1 − Φ(2,48) = 0,0066
p-value
p = 0,006569
Risposta
p = 0,006569
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,233
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 120/200 = 0,6
p̂₂ = 72/150 = 0,48
p̂ = 192/350 = 0,5486
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,5486·0,4514·(1/200 + 1/150)) = 0,05375
Statistica test
z = (0,6 − 0,48)/0,05375 = 2,233
Risposta
z = 2,233
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9965
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 14200 − 110·622/5 = 516
Sxx = 2510 − 110²/5 = 90
Syy = 80356 − 622²/5 = 2979
Coefficiente di correlazione
r = 516/√(90·2979) = 0,9965
Risposta
r = 0,9965
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 9,094
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 89/5 = 17,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Retta di regressione
b = 106/40 = 2,65
a = 17,8 − 2,65·6 = 1,9
ŷ = 1,9 + 2,65·x
Risolvi per x
x = (26 − 1,9)/2,65 = 9,094
Risposta
x = 9,094
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