Ti servono €25 000 tra 2 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €25 0004% / 12n = 2
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €100 000 tra 9 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €100 0004,2% / 12N = 108
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €6 000, €9 000, €9 000, €6 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e rende €21 000, €27 500, €17 500 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 10%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 3%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 15 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 208. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 208prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 6 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €8 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €35,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 8,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 22, 45, 20, 37, 35, 39, 20.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è superiore a 85?
μ = 100σ = 15x = 85
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 8 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
3 / 8
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 1 risposte corrette?
n = 12p = 0,2k = 1
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9668. Trova z con due decimali.
A = 0,9668
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 50 telefoni, media 97 h, deviazione standard nota 4 h. Modello 2: 100 telefoni, media 88,5 h, deviazione standard nota 15 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
I diametri di 25 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 9,5 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 24, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 12,401 e il 2,5% sopra 39,364.
n = 25s = 9,5 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 102,7 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 102,7s = 8n = 25
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 200 contro H₁: μ > 200 viene eseguito con α = 0,01 su un campione di 25; la deviazione standard è nota e vale 10. In realtà la media è 206. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 200μ = 206σ = 10n = 25α = 0,01
β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 5Σx = 20Σy = 306Σx² = 90Σy² = 19090Σxy = 1283
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 23081 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·2 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,083 = €23 080,98
Risposta
PV = €23 080,98
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 763,5 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 6 000/1,09 = 5 504,59
CF2/(1 + 0,09)2 = 9 000/1,188 = 7 575,12
CF3/(1 + 0,09)3 = 9 000/1,295 = 6 949,65
CF4/(1 + 0,09)4 = 6 000/1,412 = 4 250,55
Sommali
NPV = €4 279,91
Risposta
NPV = €4 279,91
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 13,53 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
21 000·1,12 = 25 410,00
27 500·1,11 = 30 250,00
17 500·1,10 = 17 500,00
TV = 73 160,00
MIRR
MIRR = (73 160,00/50 000)1/3 − 1 = 13,53%
Risposta
MIRR = 13,53%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1069 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,015, N = 10
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,8617)/0,015 = €207,50
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8617 = €861,67
Prezzo
P = €1 069,17
Risposta
P = €1 069,17
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 4,076 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1208 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 4%: €1 212,59
y = 5%: €1 153,75
YTC = 4,076%
Risposta
YTC = 4,076%
Il rendimento a scadenza è del 4,997%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,966 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
11.Probabilità
Risposta: P = 0,05455
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455
Risposta
P = 0,05455
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2062
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 1) = 12·0,21·0,811 = 12·0,2·0,0859 = 0,2062
Risposta
P = 0,2062
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 2,13
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,9668)/2 = 0,9834
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9834 dentro la tabella e leggi z.
z = 2,13
Risposta
z = 2,13
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7881
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standardizza
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Risposta
P = 0,7881
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 5,863 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 97 − 88,5 = 8,5
Errore standard
SE = √(4²/50 + 15²/100) = 1,603
Margine di errore
E = 1,645·1,603 = 2,637
Intervallo
8,5 ± 2,637 → [5,863, 11,14]
Risposta
limite inferiore = 5,863 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 7,418 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 24·9,5² = 2166
Limiti per σ²
2166/39,364 = 55,02
2166/12,401 = 174,7
Limite per σ
σ = √55,02 = 7,418 µm
Risposta
σ = 7,418 µm
Intervallo al 95% per σ: [7,418, 13,22] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,688
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Statistica test
t = (102,7 − 100)/1,6 = 1,688
Risposta
t = 1,688
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 25,02 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 200 + 2,326·2 = 204,7
z sotto la media vera
z = (204,7 − 206)/2 = −0,674
Errore di secondo tipo
potenza = P(Z > −0,674) = 74,98%
β = 100% − 74,98% = 25,02%
Risposta
β = 25,02%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9795
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 1283 − 20·306/5 = 59
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 19090 − 306²/5 = 362,8
Coefficiente di correlazione
r = 59/√(10·362,8) = 0,9795
Risposta
r = 0,9795
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 18,17
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 109/6 = 18,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34,5
Retta di regressione
b = −34,5/17,5 = −1,971
a = 18,17 − (−1,971)·3,5 = 25,07
ŷ = 25,07 − 1,971·x
Previsione
ŷ = 25,07 + (−1,971)·3,5 = 18,17
Risposta
ŷ = 18,17
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