Investi €2 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 6 anni.
PV = €2 000r = 8%t = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 9 anni. Il conto rende il 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €3005,4% / 12N = 108
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €27 000, €23 000, €18 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €50 000 rende €10 500 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €50 000CF = €10 500n = 9
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 6 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 4%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 6y0 = 4%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 6 anni e quota €1 110. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 6P = €1 110
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €55,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 4%rm = 9%rd = 7%T = 30%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 21, 43, 57, 22, 46.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 177,5.
μ = 170σ = 5x = 177,5
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 6 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 6p = 0,2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 95,5 e 115,75 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 100σ = 15x1 = 95,5x2 = 115,75
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 5% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 28,5 e deviazione standard s = 10. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 25x̄ = 28,5s = 1095%t(24) = 2,064
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 36. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?
σ = 36E = 195%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 100 pezzi ha lunghezza media 77,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 16 mm. Linea 2: un campione di 100 pezzi ha media 78,8 mm, deviazione standard nota 8 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 42 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 24 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 24n₂ = 120
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 10?
n = 6ŷ = 10
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 3232 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,08·6 = 0,48
e0,48 = 1,616
Valore futuro
FV = 2 000·1,616 = €3 232,15
Risposta
FV = €3 232,15
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 41602 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 27 000/1,05 = 25 714,29
CF2/(1 + 0,05)2 = 23 000/1,103 = 20 861,68
CF3/(1 + 0,05)3 = 18 000/1,158 = 15 549,08
Sommali
NPV = €2 125,04
Risposta
NPV = €2 125,04
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 15,06 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 50 000/10 500 = 4,762
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 15%: 4,772
i = 16%: 4,607
IRR = 15,06%
Risposta
IRR = 15,06%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −2,568 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 110 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 112,03, P(3%) = €1 054,17
YTM = 2,034%
Risposta
YTM = 2,034%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,4 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·3,5%·(1 − 0,2) = 7,4%
Risposta
WACC = 7,4%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,925 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 5 000 000·€55,00 = €275 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 0,6·5% = 7%
Pesi
V = €285 200 000, E/V = 0,9642, D/V = 0,03576
WACC
WACC = 0,9642·7% + 0,03576·7%·(1 − 0,3) = 6,925%
Risposta
WACC = 6,925%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 15,77
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (177,5 − 170)/5 = 1,5
Risposta
z = 1,5
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 0,6475
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Varianza
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Risposta
Var(X) = 0,6475
12.Probabilità
Risposta: P = 0,6554
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,86 = 0,2621
P(X = 1) = 6·0,2·0,85 = 0,3932
Sommale
P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554
Risposta
P = 0,6554
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,4711
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3
z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05
Area compresa
P = Φ(1,05) − Φ(−0,3) = 0,8531 − 0,3821 = 0,4711
Risposta
P = 0,4711
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 434 h
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,05
z dalla tabella
z ≈ −1,64
Di nuovo nelle unità originali
x = 500 − 1,64·40 = 434 h
Risposta
x = 434 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 4,128
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margine di errore
E = 2,064·10/√25 = 4,128
Risposta
E = 4,128
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 4979
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·36/1)² = 4979
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 4979
Risposta
n = 4979
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −0,7267
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(16²/100 + 8²/100) = √3,2 = 1,789
Statistica test
z = (77,5 − 78,8)/1,789 = −0,7267
Risposta
z = −0,7267
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,602
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 42/120 = 0,35
p̂₂ = 24/120 = 0,2
p̂ = 66/240 = 0,275
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,275·0,725·(1/120 + 1/120)) = 0,05764
Statistica test
z = (0,35 − 0,2)/0,05764 = 2,602
Risposta
z = 2,602
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,9687
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Syy = Σ(y − ȳ)² = 30,8
Coefficiente di correlazione
r = −17/√(10·30,8) = −0,9687
Risposta
r = −0,9687
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 5,25
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 72/6 = 12
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
Retta di regressione
b = 80/70 = 1,143
a = 12 − 1,143·7 = 4
ŷ = 4 + 1,143·x
Risolvi per x
x = (10 − 4)/1,143 = 5,25
Risposta
x = 5,25
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