Ti servono €5 000 tra 5 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0004% / 4n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €15 000 al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €200 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €15 000A = €2005,4% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €15 000, €11 000, €19 000, €16 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 000, €6 500, €5 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 6 500CF3 = 5 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 4 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 053 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 4P = €1 053YTM = 5,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 8%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 3%n = 6YTM = 8%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €54,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €27 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,30 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €54 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 38, 32, 46, 21, 50.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 76.
μ = 100σ = 12x = 76
z =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 8 palline rosse e 7 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
8 / 7
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?
n = 5p = 0,25k = 2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 490 e 572 h? Dai P come numero decimale.
μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 572
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 75% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 65 puntiσ = 10 punti75%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 8 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 1,6 e deviazione standard 1,8. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.
n = 8d̄ = 1,6sd = 1,890%t(7) = 1,895
limite inferiore = mmHg
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 30 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 7,9 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 29, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 16,047 e il 2,5% sopra 45,722.
n = 30s = 7,9 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 80 pezzi ha lunghezza media 72 mm, e la deviazione standard nota della linea è 19 mm. Linea 2: un campione di 40 pezzi ha media 67,9 mm, deviazione standard nota 5 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ < 500 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 12. In realtà la media è 494.4. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 500μ = 494,4σ = 12n = 36α = 0,01
1 − β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 100?
n = 6ŷ = 100
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 4098 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·5 = 20
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,22 = €4 097,72
Risposta
PV = €4 097,72
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 92 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,0045/200 = 0,6625
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,6625)/ln(1,004) = 91,7
Arrotonda a rate intere
91 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 92
Risposta
N = 92 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 4026 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 15 000/1,09 = 13 761,47
CF2/(1 + 0,09)2 = 11 000/1,188 = 9 258,48
CF3/(1 + 0,09)3 = 19 000/1,295 = 14 671,49
CF4/(1 + 0,09)4 = 16 000/1,412 = 11 334,80
Sommali
NPV = €4 026,24
Risposta
NPV = €4 026,24
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 29,78 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 720,00
NPV(30%) = −31,86
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 25 + 5·720,00/(720,00 − (−31,86)) = 29,79%
esatto: NPV(29,78%) = 0 → IRR = 29,78%
Risposta
IRR = 29,78%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,012 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,055)−4 = €807,22
Cedola
C = (1053 − 807,22)/3,505 = €70,12
Tasso cedolare
c = 70,12/1000 = 7,012%
Risposta
c = 7,012%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 5,509 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 30/1,08 = 27,78, t·PV = 27,78
t = 2: 30/1,166 = 25,72, t·PV = 51,44
t = 3: 30/1,26 = 23,81, t·PV = 71,44
t = 4: 30/1,36 = 22,05, t·PV = 88,20
t = 5: 30/1,469 = 20,42, t·PV = 102,09
t = 6: 1030/1,587 = 649,07, t·PV = 3 894,45
Duration
P = 768,86
D = 4 235,40/768,86 = 5,509
Risposta
D = 5,509 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,186 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·3%·(1 − 0,3) = 7,186%
Risposta
WACC = 7,186%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,127 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1,3·1,04 = €1,35
re = 1,352/54 + 0,04 = 6,504%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€54,00 = €54 000 000
V = €108 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·6,504% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 5,127%
Risposta
WACC = 5,127%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 11,52
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (76 − 100)/12 = −2
Risposta
z = −2
11.Probabilità
Risposta: P = 0,2667
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667
Risposta
P = 0,2667
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2637
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25
z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8
Area compresa
P = Φ(1,8) − Φ(−0,25) = 0,9641 − 0,4013 = 0,5628
Risposta
P = 0,5628
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 71,7 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,75
z dalla tabella
z ≈ 0,67
Di nuovo nelle unità originali
x = 65 + 0,67·10 = 71,7 punti
Risposta
x = 71,7 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 0,394 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 7, t = 1,895
Margine di errore
E = 1,895·1,8/√8 = 1,206
Intervallo
1,6 ± 1,206 → [0,394, 2,806]
Risposta
limite inferiore = 0,394 mmHg
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 6,292 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 29·7,9² = 1810
Limiti per σ²
1810/45,722 = 39,58
1810/16,047 = 112,8
Limite per σ
σ = √39,58 = 6,292 µm
Risposta
σ = 6,292 µm
Intervallo al 95% per σ: [6,292, 10,62] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 1,809
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(19²/80 + 5²/40) = √5,138 = 2,267
Statistica test
z = (72 − 67,9)/2,267 = 1,809
Risposta
z = 1,809
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 68,23 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 500 − 2,326·2 = 495,3
z sotto la media vera
z = (495,3 − 494,4)/2 = 0,474
Potenza
potenza = P(Z < 0.474) = 68.23%
1 − β = 68,23%
Risposta
1 − β = 68,23%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9619
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 411/5 = 82,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2067
Coefficiente di determinazione
r² = 423²/(90·2067) = 0,9619
Risposta
r² = 0,9619
Circa il 96,19% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 23,05
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 484/6 = 80,67
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 334
Retta di regressione
b = 334/70 = 4,771
a = 80,67 − 4,771·19 = −9,99
ŷ = −9,99 + 4,771·x
Risolvi per x
x = (100 − (−9,99))/4,771 = 23,05
Risposta
x = 23,05
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