Investi €2 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €2 0004,8% / 12n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0003,6% / 12N = 48
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €21 500 alla fine di ogni anno per 4 anni. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €18 500, €11 500, €13 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 11 500CF3 = 13 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 12 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €774 quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 12P = €774YTM = 8%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 3 anni e quota €1 055. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,5 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,25. L’aliquota fiscale è del 28%, il tasso privo di rischio del 1% e il premio per il rischio di mercato del 7%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 24, 29, 42, 53, 31, 14.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 78,75?
μ = 60σ = 15x = 78,75
P =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 9? L'ordine non conta.
n = 9k = 4
N =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 11p = 0,1
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,0681. Trova z con due decimali.
A = 0,0681
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 80 % dei dati (il 80° percentile).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 102 h, deviazione standard nota 15 h. Modello 2: 50 telefoni, media 100 h, deviazione standard nota 8 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 33. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 33E = 295%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 502,3 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,3s = 20n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 5 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 26. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 6.
n = 5x = 6
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2797 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 20 000·0,003/(1 − 0,8661) = €448,01
Risposta
A = €448,01
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,149 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 21 500/1,06 = 20 283,02 → Σ = 20 283,02
anno 2: 21 500/1,124 = 19 134,92 → Σ = 39 417,94
anno 3: 21 500/1,191 = 18 051,81 → Σ = 57 469,76
anno 4: 21 500/1,262 = 17 030,01 → Σ = 74 499,77
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 2 530,24/17 030,01 = 3,149
Risposta
DPB = 3,149 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,791 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 36,61 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 500,69
NPV(40%) = −998,54
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 35 + 5·500,69/(500,69 − (−998,54)) = 36,67%
esatto: NPV(36,61%) = 0 → IRR = 36,61%
Risposta
IRR = 36,61%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 5,001 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,08)−12 = €397,11
Cedola
C = (774 − 397,11)/7,536 = €50,01
Tasso cedolare
c = 50,01/1000 = 5,001%
Risposta
c = 5,001%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 3,054 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 055 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,054%
Risposta
YTM = 3,054%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,478 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,5/(1 + 0,72·0,5) = 1,103
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 1,103·(1 + 0,72·1,25) = 2,096
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1% + 2,096·7% = 15,67%
Risposta
re = 15,67%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,7
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,25
Tavola della normale standard
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Risposta
P = 0,8944
11.Probabilità
Risposta: N = 126
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
Risposta
N = 126
12.Probabilità
Risposta: P = 0,6974
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,911 = 0,3138
P(X = 1) = 11·0,1·0,910 = 0,3835
Sommale
P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974
Risposta
P = 0,6974
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 1,49
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,0681 = 0,9319
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9319 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,49
Risposta
z = 1,49
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 254,2 g
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Ritorno a x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Risposta
x = 254,21 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −1,091 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 102 − 100 = 2
Errore standard
SE = √(15²/100 + 8²/50) = 1,879
Margine di errore
E = 1,645·1,879 = 3,091
Intervallo
2 ± 3,091 → [−1,091, 5,091]
Risposta
limite inferiore = −1,091 h
L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 1046
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·33/2)² = 1046
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 1046
Risposta
n = 1046
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,69
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Statistica test
t = (502,3 − 500)/3,333 = 0,69
Risposta
t = 0,69
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 352
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((2,326 + 1,282)·26/5)² = 352
Arrotonda per eccesso
n = 352
Risposta
n = 352
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9363
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 339/6 = 56,5
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 381,5
Coefficiente di correlazione
r = 76,5/√(17,5·381,5) = 0,9363
Risposta
r = 0,9363
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 60,85
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 330/5 = 66
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206
Retta di regressione
b = 206/40 = 5,15
a = 66 − 5,15·7 = 29,95
ŷ = 29,95 + 5,15·x
Previsione
ŷ = 29,95 + 5,15·6 = 60,85
Risposta
ŷ = 60,85
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